Državna Matura Logic cheat sheet

Pojam (koncept) ima intenziju (skup oznaka/bilježja) i ekstenziju (skup predmeta na koje se odnosi); što je intenzija bogatija, ekstenzija je obično uža.

Definicija ima tri dijela: definiendum (pojam koji se definira), definiens (izraz kojim se definira) i definicijsku kopulu („jest“, „je“).

Pravilo ekvivalentnosti: definiendum i definiens moraju imati istu ekstenziju; definicija ne smije biti ni preuska ni preširoka.

Definicija ne smije biti kružna (circulus in definiendo): definiendum se ne smije pojaviti u definiensu niti se smije definirati sinonimom koji ga pretpostavlja.

Definicija ne smije biti negativna ako je pojam pozitivan i ako se može definirati pozitivno (npr. „slijep“ = „koji ne vidi“ dopušteno je jer nema pozitivnog naziva).

Vrste definicija: realna (određuje bit pojma), nominalna (određuje značenje izraza), ostenzivna (pokazivanjem primjera), kontekstualna (definira izraz unutar konteksta).

Definicija per genus et differentiam specificam: navodi se najbliži rod (genus proximum) i specifična razlika (differentia specifica), npr. „kvadrat je pravokutnik s jednakim stranicama“.

Podjela (divizija) razlikuje se od definicije: dijeli ekstenziju pojma po jednom kriteriju; mora biti potpuna, isključiva i s jednim osnovom podjele.

Sud (propozicija) je iskaz koji ima istinitosnu vrijednost; rečenice bez istinitosne vrijednosti (pitanja, zapovijedi) nisu sudovi u logičkom smislu.

Kategorijski sudovi: A (svi S su P), E (nijedan S nije P), I (neki S su P), O (neki S nisu P).

Odnosi po istinitosti: A i O te E i I su kontradiktorni (točno jedan je istinit); A i E su kontrarni (ne mogu oba biti istinita, mogu oba biti lažna).

I i O su subkontrarni (ne mogu oba biti lažna, mogu oba biti istinita); A i I te E i O stoje u odnosu subalternacije (istinitost općeg povlači istinitost posebnog).

Distribuiranost: u A je subjekt distribuiran, u E i subjekt i predikat, u I nijedan, u O je distribuiran samo predikat.

Sudovi su ekvivalentni ako imaju istu istinitosnu vrijednost u svim mogućim situacijama; to se provjerava tablicom istinitosti ili logičkom ekvivalencijom.

Kontradikcija je sud koji je nužno lažan (p ∧ ¬p), tautologija nužno istinit (p ∨ ¬p), a kontingentan sud ovisi o vrijednostima varijabli.

Konverzija: E i I sudovi konvertiraju jednostavno (S–P u P–S), A samo po akcidentu (per accidens), O se ne konvertira.

Osnovne spojnice: ¬ (negacija), ∧ (konjunkcija), ∨ (disjunkcija), → (materijalna implikacija), ↔ (bikondicional); prioritet: ¬, ∧, ∨, →, ↔.

Tablica istinitosti: p → q je lažno samo kada je p istinito i q lažno; p ∧ q istinito je samo ako su oba istinita; p ∨ q lažno je samo ako su oba lažna.

p ↔ q istinito je kada p i q imaju istu vrijednost; ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) i ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (De Morganovi zakoni).

Zakoni: dvostruka negacija ¬¬p ⇔ p, kontrapozicija (p → q) ⇔ (¬q → ¬p), distributivnost p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

Eksportacija: (p ∧ q) → r ⇔ p → (q → r); transpozicija i zakon isključenja trećeg: p ∨ ¬p; zakon neproturječja: ¬(p ∧ ¬p).

Tautologija je formula istinita za svaku valuaciju; provjera se radi potpunom tablicom istinitosti (2ⁿ redaka za n varijabli).

Formula je zadovoljiva ako postoji barem jedna valuacija koja je čini istinitom; valjana je ako je istinita u svim valuacijama.

Materijalna implikacija nije isto što i uzročna ili sadržajna implikacija: iz lažnog antecedensa slijedi bilo što (ex falso sequitur quodlibet).

Univerzalni kvantifikator ∀x P(x) znači da P vrijedi za svaki objekt domene; egzistencijalni ∃x P(x) znači da vrijedi za barem jedan objekt domene.

Negacijski zakoni: ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x) i ¬∃x P(x) ⇔ ∀x ¬P(x).

∀x P(x) → ∃x P(x) vrijedi samo uz pretpostavku da je domena neprazna; u praznoj domeni univerzalni sud je istinit, a egzistencijalni lažan.

Kvantifikatori se mogu zamijeniti samo istovrsni: ∀x∀y P(x,y) ⇔ ∀y∀x P(x,y) i ∃x∃y P(x,y) ⇔ ∃y∃x P(x,y); mješoviti redoslijed mijenja značenje.

∀x∃y P(x,y) nije ekvivalentno s ∃y∀x P(x,y); prvo tvrdi da svakom x-u odgovara neki y, drugo da jedan isti y odgovara svima.

Vezane varijable su one unutar dosega kvantifikatora; slobodna varijabla čini formulu otvorenom i bez istinitosne vrijednosti dok se ne valuira.

Zamjena varijable mora izbjegavati „hvatanje“ varijable (variable capture); ako se varijabla zamjenjuje terminom, preimenuj vezane varijable.

Kategorijski sudovi u predikatnoj formi: A: ∀x(S(x) → P(x)); E: ∀x(S(x) → ¬P(x)); I: ∃x(S(x) ∧ P(x)); O: ∃x(S(x) ∧ ¬P(x)).

Argument je valjan ako je nemoguće da su sve premise istinite, a zaključak lažan; valjanost ovisi o formi, ne o istinitosti premisa.

Argument može biti valjan s lažnim premisama i lažnim zaključkom; ako su premise istinite i argument valjan, zaključak je nužno istinit (sound argument).

Modus ponens: p → q, p ⊢ q; modus tollens: p → q, ¬q ⊢ ¬p; oba su valjana oblika.

Osporavanje antecedensa (p → q, ¬p ⊢ ¬q) i potvrđivanje konsekvensa (p → q, q ⊢ p) su nevaljani oblici.

Hipotetički silogizam: p → q, q → r ⊢ p → r; disjunktivni silogizam: p ∨ q, ¬p ⊢ q.

Metoda protuprimjera: za provjeru nevaljanosti dovoljno je pronaći interpretaciju u kojoj su premise istinite, a zaključak lažan.

Dedukcija ide od općeg prema posebnom i nužno čuva istinitost; indukcija od posebnog prema općem daje vjerojatan, ali ne nužan zaključak.

Reductio ad absurdum: pretpostavi negaciju zaključka uz premise; ako nastupi kontradikcija, zaključak slijedi.

Ad hominem: napada se osoba umjesto argumenta; ad hominem ne dokazuje da je tvrdnja lažna.

Argumentum ad populum: istinitost se izvodi iz broja pristaša; argumentum ad verecundiam: pozivanje na neautoritet ili autoritet izvan struke.

Petitio principii (kružni argument): zaključak se pretpostavlja u premisama, često prerušen u sinonim.

Ignoratio elenchi: dokazuje se nešto drugo umjesto tražene tvrdnje; straw man: napada se oslabljena verzija protivničkog stajališta.

Slippery slope: lanac posljedica prihvaća se bez opravdanja svake karike; false dilemma: nudi se izbor od dvije opcije kad ih ima više.

Post hoc ergo propter hoc: vremenska slijednost zamjenjuje se uzročnošću; cum hoc ergo propter hoc: korelacija se proglašava kauzalnošću.

Argumentum ad ignorantiam: odsutnost dokaza uzima se kao dokaz odsutnosti tvrdnje; teret dokaza leži na onome koji tvrdi.

Amfibologija i ekvivokacija: pogreška počiva na dvosmislenosti riječi ili rečenične strukture; kompozicija/dijeljenje: svojstvo dijela prenosi se na cjelinu i obrnuto.

Modalni operatori: □ (nužno) i ◇ (moguće); vrijedi ◇p ⇔ ¬□¬p i □p ⇔ ¬◇¬p.

□p → p vrijedi u normalnim modalnim sustavima (refleksivnost); □p → □□p karakterizira sustav S4; ◇p → □◇p karakterizira S5.

Kripkeov model: skup mogućih svjetova W, relacija dostupnosti R i valuacija V; □p je istinito u svijetu w ako je p istinito u svakom svijetu dostupnom iz w.

Deontička logika: O (obvezno), P (dopušteno), F (zabranjeno); P p ⇔ ¬O ¬p, a F p ⇔ O ¬p.

Intuicionistička logika odbacuje zakon isključenja trećeg p ∨ ¬p i dvostruku negaciju ¬¬p → p kao opće zakone.

Fuzzy i viševrijednosna logika dopuštaju više od dvije istinitosne vrijednosti; u Łukasiewiczevoj logici negacija je ¬x = 1 − x.

Temporalna logika koristi operatore G (uvijek u budućnosti) i F (jednom u budućnosti); G p ⇔ ¬F ¬p.

Logike s neistinitim antecedensom: relevantna logika odbacuje ex falso i zahtijeva sadržajnu vezu između antecedensa i konsekvensa.

Pojam (koncept) ima intenziju (skup oznaka/bilježja) i ekstenziju (skup predmeta na koje se odnosi); što je intenzija bogatija, ekstenzija je obično uža.

Definicija ima tri dijela: definiendum (pojam koji se definira), definiens (izraz kojim se definira) i definicijsku kopulu („jest“, „je“).

Pravilo ekvivalentnosti: definiendum i definiens moraju imati istu ekstenziju; definicija ne smije biti ni preuska ni preširoka.

Definicija ne smije biti kružna (circulus in definiendo): definiendum se ne smije pojaviti u definiensu niti se smije definirati sinonimom koji ga pretpostavlja.

Vrste definicija: realna (određuje bit pojma), nominalna (određuje značenje izraza), ostenzivna (pokazivanjem primjera), kontekstualna (definira izraz unutar konteksta).

Definicija per genus et differentiam specificam: navodi se najbliži rod (genus proximum) i specifična razlika (differentia specifica), npr. „kvadrat je pravokutnik s jednakim stranicama“.

Podjela (divizija) razlikuje se od definicije: dijeli ekstenziju pojma po jednom kriteriju; mora biti potpuna, isključiva i s jednim osnovom podjele.

Sud (propozicija) je iskaz koji ima istinitosnu vrijednost; rečenice bez istinitosne vrijednosti (pitanja, zapovijedi) nisu sudovi u logičkom smislu.

Kategorijski sudovi: A (svi S su P), E (nijedan S nije P), I (neki S su P), O (neki S nisu P).

Odnosi po istinitosti: A i O te E i I su kontradiktorni (točno jedan je istinit); A i E su kontrarni (ne mogu oba biti istinita, mogu oba biti lažna).

I i O su subkontrarni (ne mogu oba biti lažna, mogu oba biti istinita); A i I te E i O stoje u odnosu subalternacije (istinitost općeg povlači istinitost posebnog).

Distribuiranost: u A je subjekt distribuiran, u E i subjekt i predikat, u I nijedan, u O je distribuiran samo predikat.

Sudovi su ekvivalentni ako imaju istu istinitosnu vrijednost u svim mogućim situacijama; to se provjerava tablicom istinitosti ili logičkom ekvivalencijom.

Kontradikcija je sud koji je nužno lažan (p ∧ ¬p), tautologija nužno istinit (p ∨ ¬p), a kontingentan sud ovisi o vrijednostima varijabli.

Konverzija: E i I sudovi konvertiraju jednostavno (S–P u P–S), A samo po akcidentu (per accidens), O se ne konvertira.

Osnovne spojnice: ¬ (negacija), ∧ (konjunkcija), ∨ (disjunkeija), → (materijalna implikacija), ↔ (bikondicional); prioritet: ¬, ∧, ∨, →, ↔.

Tablica istinitosti: p → q je lažno samo kada je p istinito i q lažno; p ∧ q istinito je samo ako su oba istinita; p ∨ q lažno je samo ako su oba lažna.

p ↔ q istinito je kada p i q imaju istu vrijednost; ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q) i ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (De Morganovi zakoni).

Zakoni: dvostruka negacija ¬¬p ⇔ p, kontrapozicija (p → q) ⇔ (¬q → ¬p), distributivnost p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

Eksportacija: (p ∧ q) → r ⇔ p → (q → r); zakon isključenja trećeg: p ∨ ¬p; zakon neproturječja: ¬(p ∧ ¬p).

Tautologija je formula istinita za svaku valuaciju; provjera se radi potpunom tablicom istinitosti (2ⁿ redaka za n varijabli).

Formula je zadovoljiva ako postoji barem jedna valuacija koja je čini istinitom; valjana je ako je istinita u svim valuacijama.

Materijalna implikacija nije isto što i uzročna ili sadržajna implikacija: iz lažnog antecedensa slijedi bilo što (ex falso sequitur quodlibet).

Univerzalni kvantifikator ∀x P(x) znači da P vrijedi za svaki objekt domene; egzistencijalni ∃x P(x) znači da vrijedi za barem jedan objekt domene.

Negacijski zakoni: ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x) i ¬∃x P(x) ⇔ ∀x ¬P(x).

∀x P(x) → ∃x P(x) vrijedi samo uz pretpostavku da je domena neprazna; u praznoj domeni univerzalni sud je istinit, a egzistencijalni lažan.

Kvantifikatori se mogu zamijeniti samo istovrsni: ∀x∀y P(x,y) ⇔ ∀y∀x P(x,y) i ∃x∃y P(x,y) ⇔ ∃y∃x P(x,y); mješoviti redoslijed mijenja značenje.

∀x∃y P(x,y) nije ekvivalentno s ∃y∀x P(x,y); prvo tvrdi da svakom x-u odgovara neki y, drugo da jedan isti y odgovara svima.

Vezane varijable su one unutar dosega kvantifikatora; slobodna varijabla čini formulu otvorenom i bez istinitosne vrijednosti dok se ne valuira.

Zamjena varijable mora izbjegavati „hvatanje“ varijable (variable capture); ako se varijabla zamjenjuje terminom, preimenuj vezane varijable.

Kategorijski sudovi u predikatnoj formi: A: ∀x(S(x) → P(x)); E: ∀x(S(x) → ¬P(x)); I: ∃x(S(x) ∧ P(x)); O: ∃x(S(x) ∧ ¬P(x)).

Argument je valjan ako je nemoguće da su sve premise istinite, a zaključak lažan; valjanost ovisi o formi, ne o istinitosti premisa.

Argument može biti valjan s lažnim premisama i lažnim zaključkom; ako su premise istinite i argument valjan, zaključak je nužno istinit.

Modus ponens: p → q, p ⊢ q; modus tollens: p → q, ¬q ⊢ ¬p; oba su valjana oblika.

Osporavanje antecedensa (p → q, ¬p ⊢ ¬q) i potvrđivanje konsekvensa (p → q, q ⊢ p) su nevaljani oblici.

Hipotetički silogizam: p → q, q → r ⊢ p → r; disjunktivni silogizam: p ∨ q, ¬p ⊢ q.

Metoda protuprimjera: za provjeru nevaljanosti dovoljno je pronaći interpretaciju u kojoj su premise istinite, a zaključak lažan.

Dedukcija ide od općeg prema posebnom i nužno čuva istinitost; indukcija od posebnog prema općem daje vjerojatan, ali ne nužan zaključak.

Reductio ad absurdum: pretpostavi negaciju zaključka uz premise; ako nastupi kontradikcija, zaključak slijedi.

Ad hominem: napada se osoba umjesto argumenta; ad hominem ne dokazuje da je tvrdnja lažna.

Argumentum ad populum: istinitost se izvodi iz broja pristaša; argumentum ad verecundiam: pozivanje na neautoritet ili autoritet izvan struke.

Petitio principii (kružni argument): zaključak se pretpostavlja u premisama, često prerušen u sinonim.

Ignoratio elenchi: dokazuje se nešto drugo umjesto tražene tvrdnje; straw man: napada se oslabljena verzija protivničkog stajališta.

Slippery slope: lanac posljedica prihvaća se bez opravdanja svake karike; false dilemma: nudi se izbor od dvije opcije kad ih ima više.

Post hoc ergo propter hoc: vremenska slijednost zamjenjuje se uzročnošću; cum hoc ergo propter hoc: korelacija se proglašava kauzalnošću.

Argumentum ad ignorantiam: odsutnost dokaza uzima se kao dokaz odsutnosti tvrdnje; teret dokaza leži na onome koji tvrdi.

Amfibologija i ekvivokacija: pogreška počiva na dvosmislenosti riječi ili rečenične strukture; kompozicija/dijeljenje: svojstvo dijela prenosi se na cjelinu i obrnuto.

Modalni operatori: □ (nužno) i ◇ (moguće); vrijedi ◇p ⇔ ¬□¬p i □p ⇔ ¬◇¬p.

□p → p vrijedi u normalnim modalnim sustavima (refleksivnost); □p → □□p karakterizira sustav S4; ◇p → □◇p karakterizira S5.

Kripkeov model: skup mogućih svjetova W, relacija dostupnosti R i valuacija V; □p je istinito u svijetu w ako je p istinito u svakom svijetu dostupnom iz w.

Deontička logika: O (obvezno), P (dopušteno), F (zabranjeno); P p ⇔ ¬O ¬p, a F p ⇔ O ¬p.

Intuicionistička logika odbacuje zakon isključenja trećeg p ∨ ¬p i dvostruku negaciju ¬¬p → p kao opće zakone.

Fuzzy i viševrijednosna logika dopuštaju više od dvije istinitosne vrijednosti; u Łukasiewiczevoj logici negacija je ¬x = 1 − x.

Temporalna logika koristi operatore G (uvijek u budućnosti) i F (jednom u budućnosti); G p ⇔ ¬F ¬p.

Relevantna logika odbacuje ex falso i zahtijeva sadržajnu vezu između antecedensa i konsekvensa.