見た目が違う2つの式は本当に別の値になるのか（タイルアートの枚数）
福島市内の中学校の文化祭で、3年2組は体育館の壁面にタイルアートを制作する。タイルは1辺1cmの正方形で、まず1辺に n 枚（n は正の整数）並べた正方形をつくり、その外側に幅1枚分の枠を1周だけ付け加える。佐藤さんは全体の枚数を n²+4n+4 枚と表し、同じ班の小林さんは n²+4(n+1) 枚と表した。二人の式は見た目が違うため、小林さんは「値も違うはずだ」と主張し、n=1,2,3 でともに9枚、16枚、25枚になることを確かめても「たまたま偶然だろう」と納得しない。佐藤さんは、式の形が違っても同じ数量を表すことがあると説明したいが、うまく言葉にできず困っている。また、購入できるタイルは全部で400枚ちょうどで、余らせることも買い足すこともできない。n を大きくしていくと400枚を超えてしまうという懸念もある。さらに小林さんは「枠を2周にしたら、式は n²+8n+16 枚になる」と提案している。学級には、計算結果が同じでも式が違えば別のものと考える生徒が数名おり、全班で共通理解をつくる必要がある。発表は3日後で、班の全員が説明を理解している状態にしたい。
1. n²+4n+4 と n²+4(n+1) が常に同じ値をとることを、式の変形を用いて説明しなさい。また、n=1,2,3 で確かめることが証明にならない理由も述べなさい。
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結論：2つの式はすべての正の整数 n で同じ値をとる。
式の変形
- 小林さんの式を展開する：n² + 4(n+1) = n² + 4n + 4
- 佐藤さんの式：n² + 4n + 4
- 展開した結果が同じ多項式になるので、n にどんな値を入れても値は一致する。
図形的な見方 n² + 4n + 4 = (n+2)² であり、これは「1辺が (n+2) 枚の正方形に並ぶタイルの枚数」を表す。もとの n×n の正方形に幅1枚の枠を1周つけると、全体は1辺 (n+2) 枚の正方形になるので、2人の式はどちらも同じ図形の枚数を数えていることになる。
n=1,2,3 の確認が証明にならない理由 n は無限にあり、有限個の例で正しいことは、それ以外の n で成り立つことを保証しない。常に成り立つことを示すには、文字式を変形して同値であることを示す必要がある。小林さんの「形が違うから値も違う」という判断は、式の見た目と式が表す数量を混同している。
2. タイルを1枚も余らせず、買い足しもせずに使い切ることはできるか。できる場合は n の値を求め、できない場合はその理由を述べなさい。
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立式：全体の枚数は (n+2)² 枚。使えるタイルは400枚ちょうどで、余らせることも買い足すこともできないので (n+2)² = 400
解く：n+2 = ±20。n は正の整数なので n+2 > 0 より n+2 = 20、よって n = 18。
確認：n = 18 のとき (18+2)² = 400 で、ちょうど400枚。n = 18 は正の整数という条件も満たす。
判断：n = 18 とすれば1枚も余らせずに使い切れる。
補足：400 が 20² という平方数だから整数解が存在する。もし401枚しか買えなければ (n+2)² = 401 に整数解はなく、n = 18 では400枚使って1枚余り、n = 19 では441枚必要で41枚足りない、という判断になる。
3. 小林さんの「枠を2周にすると n²+8n+16 枚になる」という提案は正しいか。正しければその根拠を、誤りなら正しい式と理由を示しなさい。
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結論：小林さんの式 n² + 8n + 16 は正しい。
理由：枠を2周にすると、全体はもとの正方形の上下左右にそれぞれ2枚ずつ広がるので、1辺の枚数は n+4 枚になる。したがって全体の枚数は (n+4)² = n² + 8n + 16 枚。
検算
- n = 1：1辺5枚の正方形になり25枚。(1+4)² = 25 で一致。
- n = 2：(2+4)² = 36 枚で、n²+8n+16 = 4+16+16 = 36 と一致。
注意：式が正しいことと、その式が今の条件で使えるかは別に判断する必要がある。枠を2周にすると n = 18 では (22)² = 484 枚必要になり、400枚では足りない。