Fukushima Entrance Mathematics case studies
Fukushima Entrance Mathematics · Put your knowledge to work in context.
The Fukushima Prefectural High School Entrance Examination in Mathematics (福島県立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the general entrance selection used by Fukushima's prefectural high schools. It is written for students completing compulsory education who are applying to prefectural upper secondary schools, including general, academic-oriented, and certain specialised courses; some schools also use it within different selection frameworks, so applicants should confirm the exact selection type for their chosen school. The paper is delivered in Japanese and is built on the Japanese junior high school mathematics curriculum, so it assumes solid command of numbers and algebraic expressions, linear and quadratic equations, functions and graphs, plane and solid geometry, proof, and the use of data and probability. Expect a mix of short numerical answers, multiple-choice items, and constructed-response questions that require showing working or writing a proof; later items typically combine several topics and reward clear reasoning rather than memorised procedures. Topics on this exam: Numbers and Algebraic Expressions (数と式), Equations and Inequalities (方程式・不等式), Functions and Graphs (関数とグラフ), Geometry and Figures (図形), Data Analysis and Probability (資料の活用・確率), Mathematical Reasoning and Proof (数学的な見方・考え方・証明), and Integrated and Applied Problems (総合問題・応用問題). The Fukushima Entrance Mathematics case studies are 5 cases and about 778 words.
1見た目が違う2つの式は本当に別の値になるのか（タイルアートの枚数）
福島市内の中学校の文化祭で、3年2組は体育館の壁面にタイルアートを制作する。タイルは1辺1cmの正方形で、まず1辺に n 枚（n は正の整数）並べた正方形をつくり、その外側に幅1枚分の枠を1周だけ付け加える。佐藤さんは全体の枚数を n²+4n+4 枚と表し、同じ班の小林さんは n²+4(n+1) 枚と表した。二人の式は見た目が違うため、小林さんは「値も違うはずだ」と主張し、n=1,2,3 でともに9枚、16枚、25枚になることを確かめても「たまたま偶然だろう」と納得しない。佐藤さんは、式の形が違っても同じ数量を表すことがあると説明したいが、うまく言葉にできず困っている。また、購入できるタイルは全部で400枚ちょうどで、余らせることも買い足すこともできない。n を大きくしていくと400枚を超えてしまうという懸念もある。さらに小林さんは「枠を2周にしたら、式は n²+8n+16 枚になる」と提案している。学級には、計算結果が同じでも式が違えば別のものと考える生徒が数名おり、全班で共通理解をつくる必要がある。発表は3日後で、班の全員が説明を理解している状態にしたい。. n²+4n+4 と n²+4(n+1) が常に同じ値をとることを、式の変形を用いて説明しなさい。また、n=1,2,3 で確かめることが証明にならない理由も述べなさい。.
171 words, under 1 min2端数を切り捨てた袋数で目標利益に届くか（模擬店の仕入れ判断）
福島市立の中学校で、3年生のクラスが文化祭にクッキーの模擬店を出す。材料費は1袋あたり120円、販売価格は1袋300円、会場の機材レンタル料として4500円を先に支払う。クラス会計の高橋さんは、利益（売上金から材料費とレンタル料を引いた金額）を6000円以上にしたいと考えている。作れる袋数には限りがあり、材料と調理時間の関係から最大70袋までしか用意できない。高橋さんは「300x−120x−4500≧6000」という不等式を立て、180x≧10500、x≧58.3 と計算して「では58袋にしよう」と結論しかけた。さらに、生徒会から機材費の補助として2000円が出る可能性が話題になっており、その場合に必要になる袋数も知りたいと考えている。ただし、売れ残った袋は廃棄となり、材料費は戻らない。クラスでは、求めた袋数をそのまま信じてよいか、実際に数値を代入して確認すべきだという意見も出ている。また当日、50袋以上売れた場合は51袋目から1袋につき20円を安くする案も検討されているが、利益がどう変わるかはまだ計算されていない。当日は雨天の可能性もあり、来客数は読みにくい。. 不等式 ：利益 = 売上 − 材料費 − レンタル料 = 300x − 120x − 4500 = 180x − 4500 180x − 4500 ≧ 6000 より 180x ≧ 10500、x ≧ 58.33… 誤りの箇所 ：x は袋数なので整数でなければならない。x ≧ 58.33… を満たす最小の整数は 59 であり、58 ではない。「58.3 だから58」と切り捨てると条件を満たさない。 数値で確認 x = 58 のとき：180×58 − 4500 = 10440 − 4500 = 5940円 → 6000円に60円足りない x = 59 のとき：180×59 − 4500 = 10620 − 4500 = 6120円 → 6000円以上 答え ：最低59袋必要。59袋は上限の70袋以内なので実行可能。.
181 words, under 1 min3グラフの交点は何を意味するのか（追いかけの場面と変域）
福島市の駅から2400m離れた図書館まで、健太さんと美咲さんが向かう。健太さんは9時00分に駅を出発し、分速80mの一定の速さで歩いた。美咲さんは忘れ物をしたため6分遅れて9時06分に駅を出発し、自転車で分速240mの一定の速さで進んだ。二人の位置を、9時00分からの経過時間 t 分と駅からの距離 y m を使ってグラフに表すと、健太さんのグラフは原点から出発する直線、美咲さんのグラフは点(6, 0)から出発する傾きの大きい直線になる。2本の直線は1点で交わり、学級では「交点は二人の速さが等しくなった地点だ」「交点は二人が出会った地点だ」という2つの意見が出て話し合いになっている。美咲さんは図書館に着くとそのまま図書館で待ち、折り返さない。健太さんは途中で休憩をとらずに歩き続ける。健太さんは9時30分に図書館に到着する予定である。美咲さんの速さは健太さんの3倍だが、出発が6分遅いため追いつくまでには時間がかかる。また美咲さんは「自分は健太さんより速いので、交点より後はずっと健太さんより前にいる」と主張している。授業では、グラフの傾きと変域に注目するよう指示が出ている。. 美咲さんが図書館に着いた時点で、健太さんは駅から何mの地点にいるか。また、そのとき二人の間は何m離れているか。.
162 words, under 1 min4相似の記号の順序と面積比（対応する頂点をどう決めるか）
福島市立中学校の3年1組で、相似な図形の証明に取り組んだ。三角形ABCはAB=8cm、AC=12cm、BC=10cmで、辺AB上にAD=6cmとなる点Dを、辺AC上にAE=4cmとなる点Eをとる。このとき△ADEと△ACBが相似であることを示すのが課題である。佐藤さんは「∠Aは共通で、AD:AC=6:12=1:2、AE:AB=4:8=1:2だから、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。よって△ADE∽△ABC」と書き、対応の順序が違うとして減点された。佐藤さんは「比は合っているのになぜ間違いなのか」と納得していない。また、相似比を1:2ととらえた生徒が多く、DEの長さは求められたが、四角形DBCEの面積を△ADEの何倍かと問う問題では、全体から△ADEを引くのか、相似比を2乗して面積比にするのかで意見が分かれた。△ADEの3辺はAD=6cm、AE=4cm、DE=5cmで、△ACBの3辺はAC=12cm、AB=8cm、CB=10cmであり、それぞれ2倍の関係にある。授業では、相似の記号で表すときは対応する頂点の順に書くこと、面積比は相似比の2乗になることを確認したばかりである。. 対応の順序に注意して△ADEと△ACBが相似であることを証明し、佐藤さんの答案のどこが問題なのかを説明しなさい。.
182 words, under 1 min5