Fukushima Entrance Mathematics flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

展開公式 (a+b)^2

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。同様に (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。中央の項の符号と係数2を忘れないことが計算ミスを防ぐ要点である。

平方差の公式

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2。和と差の積は2乗の差になる。因数分解で a^2 - b^2 を見たら (a+b)(a-b) と分解する。

分母の有理化

分母に √a があるとき、分母分子に √a を掛けて分母から根号をなくす。1/√a = √a/a となる。分母が √a+√b なら √a-√b を掛ける。

絶対値と√(x^2)

|x| は x≥0 なら x、x<0 なら -x。したがって √(x^2) = |x| であり、常に x に等しいわけではない。負の数の場合に符号が反転する。

2次方程式の解の公式

ax^2+bx+c=0 (a≠0) の解は x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。この公式で係数を代入すれば実数解の有無も判別式で分かる。

判別式 D

D = b^2 - 4ac。D>0 なら異なる2つの実数解、D=0 なら重解(1つ)、D<0 なら実数解なし。2次不等式の範囲決定にも使う。

解と係数の関係

2次方程式 ax^2+bx+c=0 の2解を α, β とすると α+β = -b/a、αβ = c/a。対称式の値を求めるときに利用する。

2次不等式の解

a>0 のとき ax^2+bx+c<0 の解は2つの解の間、>0 の解は2つの解の外側。グラフとx軸の位置関係で範囲を読み取る。

連立方程式の加減法

2式を足すか引くことで1文字を消去し、1文字の方程式にして解く。求めた値を一方の式に代入して残りの文字を求める。

1次関数の傾きと切片

y = ax + b で a が傾き、b が切片。a は x が1増えるときの y の増加量を表し、b は x=0 のときの y の値である。

放物線 y=ax^2 の性質

頂点は原点、軸は y軸。a>0 なら下に凸で最小値0、a<0 なら上に凸で最大値0。|a| が大きいほどグラフの開きは狭い。

平行移動と頂点

y = a(x-p)^2 + q のグラフは y=ax^2 を x軸方向に p、y軸方向に q だけ平行移動した放物線で、頂点は (p, q) である。

変化の割合

変化の割合 = (yの増加量)/(xの増加量)。1次関数では常に一定で傾きに等しい。y=ax^2 で x が p から q まで変化するときは a(p+q)。

2次関数の最大最小

定義域に頂点が含まれるかで場合分けする。頂点が含まれれば頂点の値が最大または最小になり、含まれなければ定義域の端点で決まる。

多角形の内角と外角

n角形の内角の和は (n-2)×180°。外角の和は n によらず常に360°である。三角形の内角の和は180°となる。

三角形の合同条件

3組の辺が等しい、2組の辺とその間の角が等しい、1組の辺とその両端の角が等しい、のいずれかが成り立てば合同である。

相似比と面積比

相似な図形では対応する線分の比が相似比。面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗になる。相似比2:3なら面積比4:9。

三平方の定理

直角三角形で斜辺を c、他の2辺を a, b とすると a^2 + b^2 = c^2。逆にこの関係が成り立てばその三角形は直角三角形である。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分に等しい。直径に対する円周角は90°になる。角度を求める問題で頻出の定理である。

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は第三辺に平行で、その長さは第三辺の半分である。平行であることと長さの比の両方が導ける。

平均値・中央値・最頻値

平均値は総和÷個数、中央値は順に並べた中央の値、最頻値は最も度数が大きい値。代表値は資料の分布によって使い分ける。

四分位範囲

データを小さい順に並べ、第1四分位数 Q1 と第3四分位数 Q3 の差 Q3-Q1 を四分位範囲という。中央50%の散らばりを表す。

確率の基本

確率 = 注目する事象の場合の数 ÷ すべての場合の数。すべての場合が同様に確からしいときのみこの式が使える。

余事象の確率

事象Aが起こらない確率は 1 - P(A)。「少なくとも1つ」を含む問題は余事象で考えると計算が簡単になることが多い。

独立な試行の確率

2つの試行が互いに影響しないとき、両方起こる確率は P(A)×P(B)。排反な事象のどちらかが起こる確率は P(A)+P(B) である。

対偶の真偽

命題「p ならば q」とその対偶「q でないならば p でない」の真偽は常に一致する。直接示しにくい命題は対偶で証明する。

背理法

結論を否定して仮定し、計算や論理から矛盾を導くことで元の結論を正しいと示す証明法。√2が無理数であることの証明が代表例。

反例

命題「p ならば q」が偽であることを示すには、p を満たすが q を満たさない例を1つ挙げればよい。その例を反例という。

偶奇の表し方

整数 n を用いて、偶数は 2n、奇数は 2n+1 と表せる。整数の性質の証明ではこの表記で式を変形して示す。

必要条件と十分条件

p⇒q が真のとき、q は p の必要条件、p は q の十分条件という。p⇒q と q⇒p がともに真なら必要十分条件である。

動点と2次関数

点が動く問題では時刻 t における長さを t の式で表し、面積などを t の2次関数として立式する。定義域に頂点を含むかで最大最小を場合分けする。

速さ・濃度の関係式

距離 = 速さ×時間、食塩の量 = 濃度×食塩水の量。表に整理して未知数を1つに絞り、方程式や連立方程式を立てる。