Fukushima Entrance Mathematics study guide
Fukushima Entrance Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
The Fukushima Prefectural High School Entrance Examination in Mathematics (福島県立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics component of the general entrance selection used by Fukushima's prefectural high schools. It is written for students completing compulsory education who are applying to prefectural upper secondary schools, including general, academic-oriented, and certain specialised courses; some schools also use it within different selection frameworks, so applicants should confirm the exact selection type for their chosen school. The paper is delivered in Japanese and is built on the Japanese junior high school mathematics curriculum, so it assumes solid command of numbers and algebraic expressions, linear and quadratic equations, functions and graphs, plane and solid geometry, proof, and the use of data and probability. Expect a mix of short numerical answers, multiple-choice items, and constructed-response questions that require showing working or writing a proof; later items typically combine several topics and reward clear reasoning rather than memorised procedures. Topics on this exam: Numbers and Algebraic Expressions (数と式), Equations and Inequalities (方程式・不等式), Functions and Graphs (関数とグラフ), Geometry and Figures (図形), Data Analysis and Probability (資料の活用・確率), Mathematical Reasoning and Proof (数学的な見方・考え方・証明), and Integrated and Applied Problems (総合問題・応用問題). The Fukushima Entrance Mathematics study guide has 7 sections and about 102 words.
01数と式（Numbers and Algebraic Expressions）
数と式は、正負の数・文字式・平方根・展開と因数分解を横断して問われる領域です。福島県の入試では、小問集合で正確な計算力が試され、後半では文字式を変形して値を求める問題や、平方根を含む式の処理が出ます。計算の順序と符号を固定することが得点源です。 累乗は符号を含めて一まとまりとして扱います。(-3)^2=9、-3^2=-9です。除法は逆数の乗法に直し、分配法則は括弧の前の符号まで含めて行います。平方根は√(a^2)= a 、√a×√b=√(ab)（a,b≧0）を確認し、分母の有理化では分母の共役を掛けます。単項式の乗除は係数と文字を分け、a^2×a^3=a^5、a^6÷a^2=a^4です。小数と分数が混在する計算では、分数に統一するか小数に統一するかを最初に決めます。 (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab、(x+a)^2=x^2+2ax+a^2、(x+a)(x-a)=x^2-a^2を使います。因数分解は展開の逆で、共通因数を先に抜き、公式の形を探します。x^2-5x+6=(x-2)(x-3)のように、積が定数項、和が一次の係数になる2数を探します。 x=√3+1のとき、x^2-2x+3の値を求めます。まずx^2=(√3+1)^2=3+2√3+1=4+2√3です。次に-2x=-2√3-2なので、x^2-2x+3=(4+2√3)+(-2√3-2)+3=5となります。直接代入して整理する順序を守れば、√の項が消えることに気づけます。 (-3)^2と-3^2の混同、√(a^2)をaとしてしまう誤り、多項式の減法で括弧を外すときの符号ミス、有理化前の分母に√を残す答案が減点対象です。また、答えが√を含む場合は分母の有理化と約分を最後まで行い、近似値で答える問題では指示された桁数に合わせます。代入前に式を簡単にできるかを見落とすと計算量が増えます。. 展開公式は(x+a)(x+b)、(x+a)^2、(x+a)(x-a)の3型を先に確認する。.
15 words, under 1 min02方程式・不等式（Equations and Inequalities）
方程式・不等式は、一次方程式、連立方程式、二次方程式、不等式を扱う領域です。福島県の入試では、方程式を正確に解く力に加え、文章題から数量関係を読み取って式を立てる力が問われます。等式変形の根拠を説明できることが大切です。 両辺に同じ数を加減しても等式は保たれ、同じ数を乗除しても保たれます。ただし0で割ることはできません。不等式では、両辺に負の数を掛けたり負の数で割ったりすると不等号の向きが逆になります。移項は両辺に同じ数を加える操作の省略です。 加減法では、消したい文字の係数の絶対値をそろえてから辺々を加減します。代入法は一方の式をy=...の形にして他方に代入します。解は両方の式を満たす必要があるため、最後に元の式へ代入して検算します。 2x-3y=7、3x+2y=4を解きます。xを消すために第一式を3倍、第二式を2倍すると、6x-9y=21、6x+4y=8です。辺々を引くと-13y=13となり、y=-1です。これを2x-3y=7に代入すると2x+3=7、x=2です。よって(x,y)=(2,-1)で、両式に代入して成り立つことを確認します。 二次方程式は移項して右辺を0にし、因数分解を先に試します。x^2-5x+6=0なら(x-2)(x-3)=0でx=2,3です。因数分解できない場合は解の公式を使います。文章題では、求める数をxとおき、単位をそろえて方程式を作り、解が問題の条件に適するか確認します。 不等式で負の数を掛けたときの向きの忘れ、連立方程式の加減で符号を間違えること、二次方程式でxで割ってx=0の解を失うこと、文章題で「個数は負にならない」などの条件確認を忘れることが主な失点です。. 文字で割るとx=0の解を失うことがある。.
16 words, under 1 min03関数とグラフ（Functions and Graphs）
関数とグラフは、比例・反比例、一次関数、関数y=ax^2を扱う領域です。福島県の入試では、式からグラフの特徴を読み、グラフから式を求め、交点や変化の割合を計算する問題が出ます。表・式・グラフを相互に変換する練習が有効です。 y=ax+bのaは傾き、bはy切片です。傾きはxが1増えるときのyの増加量で、a=(yの増加量)/(xの増加量)です。2点を通る直線は、まず傾きを求め、一方の点を代入してbを決めます。平行な直線は傾きが等しく、垂直な直線は傾きの積が-1です。 反比例y=a/xではxy=aが一定で、グラフは原点を通りません。y=ax^2のグラフは原点を頂点とする放物線で、a 0なら下に凸、a<0なら上に凸です。放物線はy軸対称で、xの値がpと-pのときyの値は等しくなります。 直線y=-x+6と放物線y=x^2の交点を求めます。x^2=-x+6としてx^2+x-6=0、(x+3)(x-2)=0よりx=-3,2です。それぞれのxをy=x^2に代入すると、交点は(-3,9)と(2,4)です。連立して二次方程式に直し、両方の交点を答えることが重要です。 傾きと切片の取り違え、反比例のグラフが原点を通るとする誤り、放物線と直線の交点を片方だけ答える誤り、グラフの目盛りを読み違えることが失点につながります。変域がある問題では、端点と頂点のどれが最大・最小かを確認します。. 反比例xy=aのグラフは原点を通らない。.
15 words, under 1 min04図形（Geometry and Figures）
図形は、平面図形の角・合同・相似・円の性質と、空間図形の体積・表面積を扱う領域です。福島県の入試では、図形の性質を用いた角度計算、長さや面積の計算、合同・相似の証明が出ます。図に頼りすぎず、与えられた条件を式や記号で整理することが大切です。 三角形の内角の和は180°、外角は隣り合わない2つの内角の和に等しいです。平行線では同位角と錯角が等しくなります。円では、1つの弧に対する円周角は中心角の半分で、同じ弧に対する円周角は等しいです。 合同条件は、3組の辺、2組の辺とその間の角、1組の辺とその両端の角です。相似条件は、3組の辺の比、2組の辺の比とその間の角、2組の角です。相似比がm:nなら、面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3になります。 三角形ABCで、辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DE∥BCとします。AD:DB=2:3、DE=4cmのとき、BCを求めます。AD:AB=2:(2+3)=2:5で、DE∥BCより△ADE∽△ABCです。相似比は2:5なので、DE:BC=2:5です。DE=4cmより4:BC=2:5、2BC=20、BC=10cmとなります。 相似の対応順を間違えること、面積比を相似比のまま使うこと、円周角と中心角の関係を逆にすること、証明で「仮定」と「結論」を混同することが主な失点です。長さの単位をそろえずに計算する誤りにも注意します。. 相似比m:nなら面積比はm^2:n^2、体積比はm^3:n^3。.
14 words, under 1 min05資料の活用・確率（Data Analysis and Probability）
資料の活用・確率は、資料の整理、代表値、相対度数、確率を扱う領域です。福島県の入試では、表やグラフから傾向を読み取り、平均値・中央値・最頻値を比較する問題や、樹形図を使って確率を求める問題が出ます。用語の定義を正確に覚えることが土台です。 平均値は資料の値の合計を個数で割った値です。中央値は値を小さい順に並べたときの真ん中の値で、個数が偶数なら中央の2つの平均です。最頻値は最も多く現れる値です。範囲は最大値と最小値の差で、資料の散らばりを表します。相対度数は(その階級の度数)/(全体の度数)で、合計は1になります。 確率は、同様に確からしい場合の数が全部でn通り、目的の場合がa通りならa/nです。起こらない確率は1-pで、「少なくとも1つ」は余事象を使うと簡単になります。続けて行う試行では、取り出したものを戻すか戻さないかで場合の数が変わります。樹形図や表を書くと場合の漏れを防げます。 赤玉3個、青玉2個が入った袋から、玉を1個ずつ続けて2個取り出します。取り出した玉は戻さないとき、2個とも赤になる確率を求めます。1個目が赤の確率は3/5、その後に残る玉は4個で赤は2個なので、2個目も赤の確率は2/4です。よって(3/5)×(2/4)=6/20=3/10です。 中央値を求める前に資料を並べ替えないこと、偶数個の中央値を片方だけ選ぶこと、相対度数を度数と混同すること、戻さない試行を戻す試行として計算することが失点につながります。「少なくとも」では余事象を検討します。. 「少なくとも1つ」は余事象1-pを考える。.
14 words, under 1 min06数学的な見方・考え方・証明（Mathematical Reasoning and Proof）
数学的な見方・考え方・証明は、根拠を示して筋道立てて説明する領域です。福島県の入試では、合同や相似の証明、図形の性質の説明、命題の真偽を判断して反例を挙げる問題が出ます。結論から逆に考え、必要な条件をそろえることが重要です。 証明は、仮定を出発点にし、定義・定理・既に示した事実を根拠として、結論を導く文章です。「仮定より」「共通な辺だから」「三角形の合同条件より」のように、根拠を明示します。合同や相似では、対応する頂点の順序をそろえて書きます。証明の最後は「よって、〜である。」と結論を明記します。 命題が常に成り立つとは限らないときは、条件を満たすが結論を満たさない例を1つ挙げれば反例になります。反例は具体的な数や図形で示し、どの条件を満たし、どの結論が成り立たないかを言葉で説明します。 AB=ACの二等辺三角形ABCで、Dを辺BCの中点とします。AD⊥BCであることを証明します。△ABDと△ACDにおいて、AB=AC（仮定）、BD=CD（Dは中点）、AD=AD（共通）です。3組の辺がそれぞれ等しいので△ABD≡△ACDです。合同な図形の対応する角は等しいので∠ADB=∠ADCです。この2角は直線上の角で和が180°なので、それぞれ90°となり、AD⊥BCです。 結論を仮定のように使うこと、合同条件の「間の角」を外すこと、対応順を崩すこと、反例を1つでよいのに一般論で済ませることが失点につながります。証明では、使った条件と根拠を1対1で対応させます。.
14 words, under 1 min07総合問題・応用問題（Integrated and Applied Problems）
総合問題・応用問題は、数と式、関数、図形、資料の活用を組み合わせて解く領域です。福島県の入試では、長めの文章から条件を読み取り、式やグラフを構成し、結果を解釈する問題が出ます。小問に分かれている場合は、前の小問の結果を次の小問で使う流れを意識します。 求めるものをxやyとおき、時間・長さ・金額などの単位をそろえます。条件は「〜のとき」「〜より」などの区切りで分け、それぞれを式にします。変域がある場合は、図形の辺上を動く点の位置や、人数が0以上であることなどからxの範囲を決めます。また、前の小問で求めた式や値を次の小問で再利用できるか探します。 図形の面積や料金が時間や個数に応じて変化するときは、変化の割合が一定かどうかを確認します。一定なら一次関数、そうでなければ二次関数や場合分けが必要です。グラフの交点は2つの式を連立して求め、交点の意味を問題文に戻して解釈します。 1辺10cmの正方形ABCDで、点PはAを出発し、辺AB上を毎秒2cmの速さでBまで動きます。x秒後の△APDの面積をycm^2とします。AP=2xcm、AD=10cmで、∠PAD=90°なのでy=(1/2)×2x×10=10xです。PがBに着くのは10÷2=5秒後なので、0≦x≦5です。x=3のときy=30cm^2です。 変域を書かないこと、単位を混ぜること、点が辺の端に着く前後で式が変わるのに場合分けをしないこと、求めた値を問題の問いに合わせて答えないことが失点につながります。最後に「何を求めたか」を答案で明示します。.
14 words, under 1 min