Fukushima Entrance Mathematics cheat sheet

展開公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2, (x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。符号の積に注意して係数を決める。

因数分解は展開の逆: 共通因数→公式(平方差・完全平方)→たすき掛け(acx^2+(ad+bc)x+bd)の順で試す。

√a·√b=√(ab) (a,b≥0), √(a^2)=|a|。分母の有理化は √a に対し分母分子に √a を掛ける。

二重根号 √(a+b+2√(ab))=√a+√b (a,b>0) は和と積が一致する2数を探して外す。

絶対値: |x|=x (x≥0), |x|=-x (x<0)。√(x^2)=|x| であり x とは限らない。

実数の分類: 自然数⊂整数⊂有理数⊂実数。無理数は有理数でない実数で、循環しない無限小数で表される。

不等式の性質: a<b なら a+c<b+c、c>0 なら ac<bc、c<0 なら ac>bc と向きが反転する。

指数法則: a^m·a^n=a^(m+n), (a^m)^n=a^(mn), a^(-n)=1/a^n, a^0=1 (a≠0)。

2次方程式 ax^2+bx+c=0 の解: x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。判別式 D=b^2-4ac で D>0 は異なる2実解、D=0 は重解、D<0 は実解なし。

解と係数の関係: α+β=-b/a, αβ=c/a。対称式 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ に変形して使う。

連立方程式は代入法か加減法で1文字消去。解の個数は2直線の傾きと切片の一致/不一致で判定する。

1次不等式は両辺に負数を掛ける・割ると不等号が逆転する。数直線で解を確認する。

2次不等式は対応する2次関数のグラフとx軸の交点で範囲を読む。a>0 で ax^2+bx+c<0 は交点の間、>0 は交点の外側。

絶対値を含む方程式 |x|=a は a≥0 のとき x=±a、a<0 のとき解なし。|x|<a は -a<x<a。

連立不等式は各不等式の解の共通部分(重なり)をとる。端点の含む・含まないに注意する。

文章題は求める量を x とおき、条件を等式・不等式に翻訳してから解き、定義域(個数は自然数など)を確認する。

比例 y=ax は原点を通る直線、変化の割合は一定で a。反比例 y=a/x は双曲線で、x と y の積が常に a。

1次関数 y=ax+b の傾きは a、切片は b。平行は傾きが等しい、垂直は傾きの積が -1。

2乗に比例 y=ax^2 のグラフは放物線で頂点は原点、軸は y軸。|a| が大きいほど開きが狭い。

y=a(x-p)^2+q のグラフは y=ax^2 を x方向に p、y方向に q 平行移動したもので頂点は (p,q)。

2次関数の最大・最小: 頂点か定義域の端点で起こる。定義域に頂点が含まれるかで場合分けする。

変化の割合 = (y の増加量)/(x の増加量)。y=ax^2 で x が p から q まで変化するときの変化の割合は a(p+q)。

関数 y=f(x) のグラフと直線の交点は、連立して得た2次方程式の解が x座標になる。

変域: グラフの端と頂点での y の値を比べ、最小値・最大値を決める。x の変域に 0 を含むかで結果が変わる。

三角形の内角の和は180°、n角形の内角の和は (n-2)×180°、外角の和は常に360°。

合同条件: 3辺相等、2辺とその間の角、1辺とその両端の角。相似条件: 2角相等、2辺の比とその間の角、3辺の比が等しい。

相似な図形では対応する線分の比が相似比、面積比は相似比の2乗、体積比は3乗。

三平方の定理: 直角三角形で a^2+b^2=c^2 (c は斜辺)。逆も成り立ち、直角の判定に使える。

円周角は中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°。

接線は接点を通る半径に垂直。円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。

中点連結定理: 三角形の2辺の中点を結ぶ線分は第三辺に平行で、長さはその半分。

面積: 三角形 = 底辺×高さ÷2、台形 = (上底+下底)×高さ÷2、円 = πr^2、扇形 = πr^2×(中心角/360)。

平均値 = 資料の総和÷個数。中央値は小さい順に並べた中央の値(偶数個なら中央2つの平均)、最頻値は最も多く出る値。

階級値を用いた平均 = Σ(階級値×度数)÷度数の合計。度数分布表から近似値を求める。

範囲 = 最大値-最小値。四分位数では第1四分位数 Q1、第2(中央値) Q2、第3四分位数 Q3、四分位範囲 = Q3-Q1。

確率 = (注目する事象の場合の数)/(すべての場合の数)。同様に確からしいことが前提で、起こり得る場合は漏れなく数える。

余事象の確率: P(A が起こらない)=1-P(A)。「少なくとも1つ」は余事象で考えると早い。

独立な2つの試行の同時確率は積 P(A)×P(B)。排反事象の和は P(A)+P(B)。

標本調査では無作為に抽出する。標本の比率から母集団の数量を比例で推定できる。

樹形図や表で場合の数を整理する。順列 nPr と組合せ nCr の区別(順序を区別するか)を確認する。

命題「p ならば q」の逆は「q ならば p」、対偶は「q でないならば p でない」。もとの命題と対偶の真偽は一致する。

背理法: 結論を否定して仮定し、矛盾を導くことで元の結論を証明する。√2 が無理数であることの証明が典型例。

反例が1つでもあれば命題は偽。全称命題の証明は任意の文字について一般性を保って示す。

合同・相似の証明は、仮定から等しい辺・角を書き出し、使う条件(3辺、2辺と間の角など)を明記して結論へつなぐ。

証明の構成: 仮定→根拠(定義・定理・条件)→結論。根拠を必ず示し、結論を最後に明記する。

偶数は 2n、奇数は 2n+1 (n は整数) と表せる。整数の性質の証明はこの表記で計算する。

n角形の内角の和など、図形の性質は既知の定理から演繹的に導く。帰納的な観察だけでは証明にならない。

必要条件と十分条件: p⇒q が真のとき q は p の必要条件、p は q の十分条件。同値なら必要十分条件。

文章題は「何を x とおくか」を最初に決め、条件を方程式・不等式・関数に翻訳する。単位をそろえる。

動点問題は時刻 t における長さを t の式で表し、面積や長さを t の2次関数として最大・最小を求める。

図形と関数の融合: 座標平面上の三角形の面積は、底辺を x軸・y軸に平行にとると計算しやすい。

速さ・割合・食塩水の問題は「量 = 濃度×全体量」「距離 = 速さ×時間」の関係を表にして整理する。

場合分けが必要なのは、定義域に頂点を含むか、絶対値の符号、負数を掛ける不等式など。場合の漏れを確認する。

近似値・有効数字を使う問題では、途中計算は精度を保ち、最後に指定桁で四捨五入する。

複数分野の融合問題は、まず図や表で与条件を整理し、使う定理・公式を特定してから立式する。

答えの妥当性検証: 求めた値が定義域に入るか、単位・符号・個数が現実的かを最後に確認する。