端数を切り捨てた袋数で目標利益に届くか（模擬店の仕入れ判断）
福島市立の中学校で、3年生のクラスが文化祭にクッキーの模擬店を出す。材料費は1袋あたり120円、販売価格は1袋300円、会場の機材レンタル料として4500円を先に支払う。クラス会計の高橋さんは、利益（売上金から材料費とレンタル料を引いた金額）を6000円以上にしたいと考えている。作れる袋数には限りがあり、材料と調理時間の関係から最大70袋までしか用意できない。高橋さんは「300x−120x−4500≧6000」という不等式を立て、180x≧10500、x≧58.3 と計算して「では58袋にしよう」と結論しかけた。さらに、生徒会から機材費の補助として2000円が出る可能性が話題になっており、その場合に必要になる袋数も知りたいと考えている。ただし、売れ残った袋は廃棄となり、材料費は戻らない。クラスでは、求めた袋数をそのまま信じてよいか、実際に数値を代入して確認すべきだという意見も出ている。また当日、50袋以上売れた場合は51袋目から1袋につき20円を安くする案も検討されているが、利益がどう変わるかはまだ計算されていない。当日は雨天の可能性もあり、来客数は読みにくい。
1. 高橋さんの計算はどこが誤りか。目標を達成するために必要な最小の袋数を求め、58袋ではなぜだめかを数値で示しなさい。
Read the worked answer
不等式：利益 = 売上 − 材料費 − レンタル料 = 300x − 120x − 4500 = 180x − 4500 180x − 4500 ≧ 6000 より 180x ≧ 10500、x ≧ 58.33…
誤りの箇所：x は袋数なので整数でなければならない。x ≧ 58.33… を満たす最小の整数は 59 であり、58 ではない。「58.3 だから58」と切り捨てると条件を満たさない。
数値で確認
- x = 58 のとき：180×58 − 4500 = 10440 − 4500 = 5940円 → 6000円に60円足りない
- x = 59 のとき：180×59 − 4500 = 10620 − 4500 = 6120円 → 6000円以上
答え：最低59袋必要。59袋は上限の70袋以内なので実行可能。
2. 生徒会から2000円の補助が出る場合、目標を達成するには最低何袋必要か。補助がない場合と比べて説明しなさい。
Read the worked answer
立式：補助金は利益を増やすので、利益は 180x − 4500 + 2000 = 180x − 2500 と表せる。 180x − 2500 ≧ 6000 より 180x ≧ 8500、x ≧ 47.22…
整数化：最小の整数は 48。
確認
- x = 48：180×48 − 2500 = 8640 − 2500 = 6140円 → 達成
- x = 47：180×47 − 2500 = 8460 − 2500 = 5960円 → 40円不足
答え：48袋。補助がない場合の59袋から11袋減らせる。補助金は固定費を下げるので、必要な販売数が減る方向に働く。
3. 値引き案（50袋以上売れたら51袋目から1袋20円引き）を採用し、60袋すべて売れた場合の利益を求め、値引きがない場合と比較しなさい。
Read the worked answer
値引きの適用：60袋売れたので、1〜50袋目は300円、51〜60袋目は280円になる。
売上：300×50 + 280×10 = 15000 + 2800 = 17800円
費用：材料費 120×60 = 7200円、レンタル料 4500円
利益：17800 − 7200 − 4500 = 6100円
値引きがない場合：300×60 − 7200 − 4500 = 18000 − 11700 = 6300円
比較：値引きによって200円（10袋×20円）利益が減るが、6100円で目標の6000円は達成できる。
判断のポイント：値引きより影響が大きいのは売れ残り。50袋しか売れなかった場合、値引きは適用されず利益は 180×50 − 4500 = 4500円で目標に届かない。値引きの有無だけでなく、売れ残って材料費が戻らないリスクを考えて仕入れ数を決める必要がある。