グラフの交点は何を意味するのか（追いかけの場面と変域）
福島市の駅から2400m離れた図書館まで、健太さんと美咲さんが向かう。健太さんは9時00分に駅を出発し、分速80mの一定の速さで歩いた。美咲さんは忘れ物をしたため6分遅れて9時06分に駅を出発し、自転車で分速240mの一定の速さで進んだ。二人の位置を、9時00分からの経過時間 t 分と駅からの距離 y m を使ってグラフに表すと、健太さんのグラフは原点から出発する直線、美咲さんのグラフは点(6, 0)から出発する傾きの大きい直線になる。2本の直線は1点で交わり、学級では「交点は二人の速さが等しくなった地点だ」「交点は二人が出会った地点だ」という2つの意見が出て話し合いになっている。美咲さんは図書館に着くとそのまま図書館で待ち、折り返さない。健太さんは途中で休憩をとらずに歩き続ける。健太さんは9時30分に図書館に到着する予定である。美咲さんの速さは健太さんの3倍だが、出発が6分遅いため追いつくまでには時間がかかる。また美咲さんは「自分は健太さんより速いので、交点より後はずっと健太さんより前にいる」と主張している。授業では、グラフの傾きと変域に注目するよう指示が出ている。
1. 2本の直線の交点の時刻と地点を求めなさい。また「交点は二人の速さが等しくなった地点だ」という意見が誤りである理由を、グラフの傾きの意味とあわせて説明しなさい。
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式を立てる：9時00分から t 分後の駅からの距離を y m とする。
- 健太：y = 80t（0 ≦ t ≦ 30）
- 美咲：y = 240(t − 6)（6 ≦ t ≦ 16）
交点：80t = 240(t − 6) → 80t = 240t − 1440 → 160t = 1440 → t = 9 y = 80 × 9 = 720
答え：t = 9、つまり9時09分、駅から720mの地点。
「速さが等しくなった」が誤りである理由：グラフの傾きが速さを表す。健太の傾きは80、美咲の傾きは240で、どちらも一定のまま変化しない。交点が意味するのは「同じ時刻に同じ位置にいる」ことだけで、速さが等しいことではない。速さが等しくなるのは2直線の傾きが等しいとき（平行になるとき）であり、この2直線は平行でないので速さは一度も等しくならない。
2. 美咲さんが図書館に着いた時点で、健太さんは駅から何mの地点にいるか。また、そのとき二人の間は何m離れているか。
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美咲さんの到着時刻：2400 ÷ 240 = 10分後。9時06分 + 10分 = 9時16分。
そのときの健太さんの位置：9時00分から16分歩いているので 80 × 16 = 1280m。
二人の距離：2400 − 1280 = 1120m。
答え：健太さんは駅から1280mの地点、二人の間は1120m。
補足：健太さんは残り 2400 − 1280 = 1120m を分速80mで歩くので、あと14分後の9時30分に到着する。これは問題文の到着予定と一致する。
3. 美咲さんの直線を t = 0 や t = 20 まで延長して考えると、どのような誤りが生じるか。変域に触れて説明しなさい。
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美咲さんのグラフの変域：y = 240(t − 6) が意味をもつのは 6 ≦ t ≦ 16 の範囲だけ。t = 16 で y = 2400 に達し、その後は図書館で待つので y = 2400 の水平な線になる。
延長すると起こる誤り
- t = 20 まで延長して計算すると y = 240 × 14 = 3360m となり、図書館までの2400mを超えてしまう。これは「到着後も同じ速さで進み続ける」という誤った仮定によるもの。
- t = 0 まで延長すると y = 240 × (−6) = −1440m となり、駅より後ろにいることになってしまう。
判断：グラフを読み取るときは、式だけでなく、その式が成り立つ時間の範囲（変域）を必ず確認する必要がある。美咲さんの「交点より後はずっと健太さんより前」という主張も、9時16分以降は位置が2400mで変わらないことを踏まえて判断しなければならない。