相似の記号の順序と面積比（対応する頂点をどう決めるか）
福島市立中学校の3年1組で、相似な図形の証明に取り組んだ。三角形ABCはAB=8cm、AC=12cm、BC=10cmで、辺AB上にAD=6cmとなる点Dを、辺AC上にAE=4cmとなる点Eをとる。このとき△ADEと△ACBが相似であることを示すのが課題である。佐藤さんは「∠Aは共通で、AD:AC=6:12=1:2、AE:AB=4:8=1:2だから、2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。よって△ADE∽△ABC」と書き、対応の順序が違うとして減点された。佐藤さんは「比は合っているのになぜ間違いなのか」と納得していない。また、相似比を1:2ととらえた生徒が多く、DEの長さは求められたが、四角形DBCEの面積を△ADEの何倍かと問う問題では、全体から△ADEを引くのか、相似比を2乗して面積比にするのかで意見が分かれた。△ADEの3辺はAD=6cm、AE=4cm、DE=5cmで、△ACBの3辺はAC=12cm、AB=8cm、CB=10cmであり、それぞれ2倍の関係にある。授業では、相似の記号で表すときは対応する頂点の順に書くこと、面積比は相似比の2乗になることを確認したばかりである。
1. 対応の順序に注意して△ADEと△ACBが相似であることを証明し、佐藤さんの答案のどこが問題なのかを説明しなさい。
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証明 △ADE と △ACB において
- ∠DAE = ∠CAB（共通の角）
- AD : AC = 6 : 12 = 1 : 2
- AE : AB = 4 : 8 = 1 : 2
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので △ADE ∽ △ACB （対応は A↔A、D↔C、E↔B）
佐藤さんの答案の問題点：相似を記号で表すときは、対応する頂点を同じ順序で並べる。佐藤さんの「△ADE ∽ △ABC」は A↔A、D↔B、E↔C という対応を主張したことになるが、この対応では AD : AB = 6 : 8 = 3 : 4 と AE : AC = 4 : 12 = 1 : 3 が一致せず、相似にならない。比の値が合っているのは AC、AB との比であり、対応する辺を選ぶ際に「どの辺とどの辺が対応するか」を確認していない点が誤り。相似の記号の順序を間違えると、その後に辺の長さや面積比を求めるときも対応を誤る。
2. DE の長さを求めなさい。相似比と対応する辺を明示して説明しなさい。
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相似比：△ADE ∽ △ACB で AD : AC = 6 : 12 = 1 : 2 なので、相似比は 1 : 2。
対応する辺：DE は CB に対応する。
計算：DE : CB = 1 : 2 より DE = 10 × 1/2 = 5cm。
確認：△ADE の3辺は AD=6、AE=4、DE=5 で、△ACB の3辺 AC=12、AB=8、CB=10 のそれぞれ1/2になっている。
注意：相似比が1:2だからといって、対応を取り違えて DE = 8 × 1/2 = 4cm としないこと。DE に対応するのは CB である。
3. 四角形DBCEの面積は△ADEの面積の何倍か。面積比の考え方を用いて説明しなさい。
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面積比：相似比が 1 : 2 なので、面積比は 1² : 2² = 1 : 4。 △ADE の面積を S とすると、△ACB の面積は 4S。
四角形DBCE：四角形DBCE = △ACB − △ADE = 4S − S = 3S
答え：四角形DBCE の面積は △ADE の3倍。
注意：面積比は相似比の2乗であり、相似比 1:2 をそのまま使って「2倍」としてはならない。また、四角形DBCE は△ADE と相似な図形ではないので、相似比から直接求めることはできない。いったん△ACB 全体の面積を考え、そこから△ADE を除く、という手順が必要になる。