数と式（Numbers and Algebraic Expressions）
数と式は、正負の数・文字式・平方根・展開と因数分解を横断して問われる領域です。福島県の入試では、小問集合で正確な計算力が試され、後半では文字式を変形して値を求める問題や、平方根を含む式の処理が出ます。計算の順序と符号を固定することが得点源です。
計算の原則
累乗は符号を含めて一まとまりとして扱います。(-3)^2=9、-3^2=-9です。除法は逆数の乗法に直し、分配法則は括弧の前の符号まで含めて行います。平方根は√(a^2)=|a|、√a×√b=√(ab)（a,b≧0）を確認し、分母の有理化では分母の共役を掛けます。単項式の乗除は係数と文字を分け、a^2×a^3=a^5、a^6÷a^2=a^4です。小数と分数が混在する計算では、分数に統一するか小数に統一するかを最初に決めます。
展開と因数分解
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab、(x+a)^2=x^2+2ax+a^2、(x+a)(x-a)=x^2-a^2を使います。因数分解は展開の逆で、共通因数を先に抜き、公式の形を探します。x^2-5x+6=(x-2)(x-3)のように、積が定数項、和が一次の係数になる2数を探します。
例題
x=√3+1のとき、x^2-2x+3の値を求めます。まずx^2=(√3+1)^2=3+2√3+1=4+2√3です。次に-2x=-2√3-2なので、x^2-2x+3=(4+2√3)+(-2√3-2)+3=5となります。直接代入して整理する順序を守れば、√の項が消えることに気づけます。
失点しやすい点
(-3)^2と-3^2の混同、√(a^2)をaとしてしまう誤り、多項式の減法で括弧を外すときの符号ミス、有理化前の分母に√を残す答案が減点対象です。また、答えが√を含む場合は分母の有理化と約分を最後まで行い、近似値で答える問題では指示された桁数に合わせます。代入前に式を簡単にできるかを見落とすと計算量が増えます。