斜面・摩擦・ばね：力学的エネルギー保存が使える区間を見きわめる
水平面と 30° をなす粗い斜面の下端 B は、なめらかな水平面につながっている。水平面上には、ばね定数 40 N/m の軽いばねが一端を壁に固定して置かれている。斜面上の点 A は水平面から高さ 0.80 m の位置にあり、そこに質量 0.50 kg の小物体を静かに置いた。斜面と物体の間の動摩擦係数は 0.25 とし、静止摩擦は無視できる。重力加速度の大きさを 9.8 m/s²、sin30° = 0.50、cos30° = 0.866 とする。物体は大きさの無視できる点とみなし、つなぎ目 B では速さが変わらないものとする。物体は B を通過してばねを押し縮め、一瞬静止した後、押し戻されて再び斜面を上る。提出されたレポートには「A での位置エネルギー 3.92 J がそのままばねの弾性エネルギーになるので、縮みは 0.44 m」と書かれていた。どの区間で力学的エネルギーが保存され、どの区間で摩擦の仕事を考慮すべきかを区間ごとに区別し、押し戻された後の運動まで数値で示して論じることが求められている。
1. 斜面を下る間に摩擦力がする仕事の大きさを求め、点 B での物体の速さを求めよ。
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斜面の長さ L は L = h/sin30° = 0.80/0.50 = 1.60 m。垂直抗力 N = mg cos30° = 0.50×9.8×0.866 = 4.24 N、動摩擦力 f = μN = 0.25×4.24 = 1.06 N。摩擦力は進行方向と逆向きなので仕事は W = -fL = -1.06×1.60 = -1.70 J。点 A では速さ 0 なので運動エネルギーは 0、位置エネルギーは mgh = 0.50×9.8×0.80 = 3.92 J。点 B を高さの基準にとると 3.92 - 1.70 = 2.22 J が点 B の運動エネルギーになる。½mv² = 2.22 より v = √(2×2.22/0.50) = √8.88 ≒ 2.98 m/s ≒ 3.0 m/s。摩擦熱 1.70 J を差し引くことが本質で、これを無視すると v = √(2×3.92/0.50) = 3.96 m/s と過大になる。
2. ばねが最も縮んだときの縮み x を求め、レポートの 0.44 m という値がなぜ誤りかを説明せよ。
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水平面はなめらかなので、点 B から最も縮むまでの間では力学的エネルギーが保存される。最も縮んだ瞬間は速さ 0 なので ½kx² = 2.22 J。x = √(2×2.22/40) = √0.111 ≒ 0.333 m ≒ 0.33 m。レポートの 0.44 m は A の位置エネルギー 3.92 J をそのまま弾性エネルギーとみなした √(2×3.92/40) = 0.443 m であり、斜面上で摩擦がした仕事 1.70 J を無視している。摩擦のある区間では力学的エネルギーが減少することを式で明示し、区間ごとに収支を分けて扱う必要がある。
3. 押し戻された物体は斜面上をどこまで上るか。高さで答えよ。また、その地点で再び滑り下りるかどうかを力の比較から判断せよ。
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ばねは自然長まで物体を押し戻すので、物体は 2.22 J の運動エネルギーをもって点 B に戻る。斜面を上るとき、重力の斜面方向成分 mg sin30° = 2.45 N と動摩擦力 1.06 N がともに下向きにはたらく。上る距離を s とすると (2.45 + 1.06)s = 2.22 より s = 0.632 m、高さは s sin30° = 0.32 m で A の 0.80 m には届かない。停止後、下向きの力は mg sin30° = 2.45 N で、最大静止摩擦力に相当する μN = 1.06 N を上回るから、物体は再び滑り下りる。「止まったからそこで安定」と決めつけず、重力成分と静止摩擦力を比べる判断が必要である。