Hokkaido Entrance Science case studies
Hokkaido Entrance Science · Put your knowledge to work in context.
Topics on this exam: Physics, Chemistry, Biology, and Earth Science. The Hokkaido Entrance Science case studies are 5 cases and about 869 words.
1斜面・摩擦・ばね：力学的エネルギー保存が使える区間を見きわめる
水平面と 30° をなす粗い斜面の下端 B は、なめらかな水平面につながっている。水平面上には、ばね定数 40 N/m の軽いばねが一端を壁に固定して置かれている。斜面上の点 A は水平面から高さ 0.80 m の位置にあり、そこに質量 0.50 kg の小物体を静かに置いた。斜面と物体の間の動摩擦係数は 0.25 とし、静止摩擦は無視できる。重力加速度の大きさを 9.8 m/s²、sin30° = 0.50、cos30° = 0.866 とする。物体は大きさの無視できる点とみなし、つなぎ目 B では速さが変わらないものとする。物体は B を通過してばねを押し縮め、一瞬静止した後、押し戻されて再び斜面を上る。提出されたレポートには「A での位置エネルギー 3.92 J がそのままばねの弾性エネルギーになるので、縮みは 0.44 m」と書かれていた。どの区間で力学的エネルギーが保存され、どの区間で摩擦の仕事を考慮すべきかを区間ごとに区別し、押し戻された後の運動まで数値で示して論じることが求められている。. 斜面を下る間に摩擦力がする仕事の大きさを求め、点 B での物体の速さを求めよ。. ばねが最も縮んだときの縮み x を求め、レポートの 0.44 m という値がなぜ誤りかを説明せよ。. 斜面の長さ L は L = h/sin30° = 0.80/0.50 = 1.60 m。垂直抗力 N = mg cos30° = 0.50×9.8×0.866 = 4.24 N、動摩擦力 f = μN = 0.25×4.24 = 1.06 N。摩擦力は進行方向と逆向きなので仕事は W = -fL = -1.06×1.60 = -1.70 J。点 A では速さ 0 なので運動エネルギーは 0、位置エネルギーは mgh = 0.50×9.8×0.80 = 3.92 J。点 B を高さの基準にとると 3.92 - 1.70 = 2.22 J が点 B の運動エネルギーになる。½mv² = 2.22 より v = √(2×2.22/0.50) = √8.88 ≒ 2.98 m/s ≒ 3.0 m/s。摩擦熱 1.70 J を差し引くことが本質で、これを無視すると v = √(2×3.92/0.50) = 3.96 m/s と過大になる。.
211 words, about 1 min2過マンガン酸カリウム滴定：純度 90% という規格を合格させてよいか
硫酸鉄(II)七水和物 FeSO4·7H2O（式量 278）の試料 1.00 g を空気中で手早く水に溶かし、硫酸を加えたあとメスフラスコで正確に 100 mL にした。この溶液を 10.0 mL ホールピペットでコニカルビーカーにとり、0.020 mol/L の過マンガン酸カリウム KMnO4 水溶液で滴定したところ、2.90 mL を加えた時点で淡い赤紫色が振り混ぜても消えなくなった。酸性溶液中で MnO4^- + 8H+ + 5e^- → Mn2+ + 4H2O、Fe2+ → Fe3+ + e^- だけが起こるとする。この製品の規格は純度 90.0% 以上である。滴定を担当した実習生は終点を「はっきり赤紫色になるまで」と判断しており、また試料を溶かしてから滴定を始めるまで 30 分ほど放置していた。上司は測定値だけを見て出荷を決めようとしている。計算過程を示して規格に適合するかを判定し、放置と終点の判断が結果をどちら向きにずらすか、また硫酸を加える操作の意味まで述べることが求められている。. 試料中の FeSO4·7H2O の純度を質量パーセントで求め、規格に適合するか判定せよ。. MnO4^- 1 mol は 5 mol の電子を受け取り、Fe2+ 1 mol は 1 mol の電子を放出するので、Fe2+ の物質量は MnO4^- の 5 倍になる。加えた KMnO4 は 0.020 mol/L × 2.90×10^-3 L = 5.80×10^-5 mol。したがって 10.0 mL 中の Fe2+ は 5 × 5.80×10^-5 = 2.90×10^-4 mol、100 mL 全体では 2.90×10^-3 mol。FeSO4·7H2O の質量は 2.90×10^-3 mol × 278 g/mol = 0.806 g で、純度は 80.6%。規格の 90.0% を約 9 ポイント下回るので適合しない。よくある誤りは 5 倍をかけ忘れて約 16% とするもの、100 mL に換算せず 1/10 の値のまま比較するもので、どちらも結論を大きく変えてしまう。. 30 分放置すると空気中の酸素で Fe2+ の一部が Fe3+ に酸化され、滴定に消費される KMnO4 が減るので、純度は実際より小さく見積もられる。逆に終点を濃い赤紫色まで続けると当量より多く KMnO4 を加えたことになり、純度は実際より大きく見積もられる。両者は逆向きに働くため、80.6% が真の値からどちらにずれているかは測定だけでは決められない。しかし規格との差が約 9 ポイントと大きく、空気酸化で失われる量は通常数% 程度であることを踏まえると、90.0% を超える可能性は低いと判断するのが妥当である。確定には、新たに試料を採取し、溶かした直後に滴定し、淡い赤紫色を終点とする再測定が必要になる。誤差の向きと大きさを分けて論じることが要点である。.
144 words, under 1 min3検定交雑の分離比：独立か連鎖かをデータから判定する
ある植物では、種子の形は丸（R）がしわ（r）に対して、子葉の色は黄（Y）が緑（y）に対して、それぞれ完全優性である。丸・黄の純系としわ・緑の純系を交配して得た F1 はすべて丸・黄であった。この F1 をしわ・緑の個体と検定交雑したところ、後代 800 個体の内訳は、丸・黄 348、丸・緑 52、しわ・黄 48、しわ・緑 352 であった。授業では「2 つの遺伝子は独立に遺伝する」という主張と「同じ染色体上にあって連鎖している」という主張が対立し、どちらを支持するかをデータから決めることになった。さらに、この F1 を自家受粉させた場合の後代の表現型比を予想する課題も出された。カイ二乗検定を用いる場合は、自由度 1 の 5% 限界値 3.84、自由度 3 の 5% 限界値 7.81 を用いてよい。組換え価は小数第 1 位まで求め、F1 がつくる配偶子の種類と割合を明示して議論すること。. 組換え価を求め、F1 がつくる 4 種類の配偶子の割合を示せ。. この F1 を自家受粉させたとき、後代にしわ・緑の個体が現れる割合を求めよ。. 検定交雑では F1 の配偶子の比がそのまま後代の表現型比になる。独立なら 4 種類の配偶子が 1:1:1:1 なので、800 個体では各 200 個が期待される。観測値との差は 148、148、152、152。カイ二乗値は (148² + 148² + 152² + 152²)/200 = (21904 + 21904 + 23104 + 23104)/200 ≒ 450 となり、自由度 3 の限界値 7.81 をはるかに超える。よって独立遺伝の仮説は棄却され、連鎖していると判断する。さらに丸・黄としわ・緑が圧倒的に多いことから、F1 では R と Y、r と y がそれぞれ同じ染色体上に乗っている（シス型）と判断できる。.
148 words, under 1 min43 地点の初期微動継続時間から震源を決め、揺れの大小を判断する
内陸の平野で地震が発生し、3 地点 A、B、C の地震計が記録を残した。この地域の地殻内を伝わる P 波の速さを 6.0 km/s、S 波の速さを 3.5 km/s とする。初期微動継続時間は A で 6.0 s、B で 10.5 s、C で 3.0 s であった。震源の深さは 20 km と推定されており、観測点の標高差は無視できる。住民からは「震源から遠い B では揺れが半分になるはずだ」「深いところで起きた地震なら地表では必ず小さく感じる」という意見が出ている。本震のマグニチュードは 6.0 で、エネルギー E [J] とマグニチュード M の関係は log10 E = 4.8 + 1.5M で表されるとする。なお、この一帯は軟弱な盛土の上にあり、C では特に揺れが大きく感じられた。また、A と B の 2 地点だけで震央を決められると考えている生徒もいる。震源距離と震央距離を区別し、地盤の影響も含めて判断することが求められている。. A、B、C それぞれの震源距離を求めよ。. 震源の深さ 20 km を用いて A と C の震央距離を求めよ。また、A と B の 2 地点だけで震央を特定できるか、理由をつけて答えよ。. 「震源距離が 2 倍になれば揺れの振幅は半分になる」「深い地震ほど地表の揺れは必ず小さい」という 2 つの意見を、データと一般的な性質に基づいて評価せよ。また M が 6.0 から 7.0 に変わるとエネルギーは何倍になるか。.
190 words, under 1 min5電熱線による加熱：内部抵抗があるとき、抵抗値を変えると水温上昇はどう変わるか
起電力 12 V、内部抵抗 0.80 Ω の電池に、抵抗値 4.0 Ω の電熱線とスイッチを直列につなぎ、電熱線を断熱材で覆っていないビーカー中の水 200 g に沈めた。水温 20.0°C のときスイッチを入れ、10 分間通電したところ水温は 32.0°C になった。水の比熱を 4.2 J/(g·K) とし、導線の抵抗、水の蒸発、容器の熱容量は無視できるものとする。授業では「抵抗を 8.0 Ω にすれば電力が 2 倍になり、同じ 10 分間で水温上昇も約 2 倍になる」という予想と、「抵抗は小さいほど電流が大きいので、電熱線の抵抗を 0.80 Ω にすると最も発熱する」という指摘が出された。どちらも電流と電力の関係を単純化しすぎている可能性がある。電池の内部抵抗で生じる熱と電熱線で生じる熱を区別し、消費電力が最大になる条件を踏まえて判断すること、さらに実測の水温上昇が計算値より小さい理由を考察することが求められている。. 直列回路の全抵抗は 4.0 + 0.80 = 4.8 Ω。電流は I = 12/4.8 = 2.5 A。電熱線の消費電力は P = I²R = 2.5²×4.0 = 25 W。10 分 = 600 s なので発生熱量は 25×600 = 1.50×10^4 J。このとき電池の内部抵抗でも I²r = 2.5²×0.80 = 5.0 W が消費され、電池が供給する全電力は 12×2.5 = 30 W。電熱線で使われるのは 25/30 ≒ 83% である。. 水が得た熱量は 200 g × 4.2 J/(g·K) × (32.0 - 20.0) K = 1.008×10^4 J。電熱線の発生熱量は 1.50×10^4 J なので、失われたのは 4.92×10^3 J、割合にして約 33%。断熱されていないビーカーでは、水面からの蒸発、器壁を通した空気への放熱、水面や器壁からの放射があり、水温が上がるほど放熱は大きくなる。損失が無いと仮定すると上昇は 1.50×10^4/(200×4.2) ≒ 17.9 K で 37.9°C になるはずだが、実測は 12.0 K の上昇にとどまっている。「発生した熱」「水が得た熱」「失われた熱」に分けた収支で示すことが要点である。. 8.0 Ω にすると全抵抗は 8.8 Ω、電流は 12/8.8 ≒ 1.36 A、電熱線の消費電力は 1.36²×8.0 ≒ 14.9 W で、4.0 Ω のときの 25 W より小さくなる。電力は I²R で、R を 2 倍にすると I は約 0.55 倍になるため単純に 2 倍にはならない。電熱線の電力 P = E²R/(R + r)² を R で微分すると R = r のとき最大になるので、R = 0.80 Ω では電流 7.5 A、電力 45 W で最大になる。ただしこのとき電池内部でも同じ 45 W が消費され、効率は 50% である。つまり「最も発熱する抵抗値」と「効率よく水を温める抵抗値」は別問題で、加熱目的なら内部抵抗の小さい電池を使い、電熱線の抵抗を内部抵抗より十分大きくして効率を上げる設計になる。実際には抵抗を変えると昇温の速さが変わり放熱の割合も変わるので、電力比だけで昇温を予測できない点も付言したい。.
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