電熱線による加熱：内部抵抗があるとき、抵抗値を変えると水温上昇はどう変わるか
起電力 12 V、内部抵抗 0.80 Ω の電池に、抵抗値 4.0 Ω の電熱線とスイッチを直列につなぎ、電熱線を断熱材で覆っていないビーカー中の水 200 g に沈めた。水温 20.0°C のときスイッチを入れ、10 分間通電したところ水温は 32.0°C になった。水の比熱を 4.2 J/(g·K) とし、導線の抵抗、水の蒸発、容器の熱容量は無視できるものとする。授業では「抵抗を 8.0 Ω にすれば電力が 2 倍になり、同じ 10 分間で水温上昇も約 2 倍になる」という予想と、「抵抗は小さいほど電流が大きいので、電熱線の抵抗を 0.80 Ω にすると最も発熱する」という指摘が出された。どちらも電流と電力の関係を単純化しすぎている可能性がある。電池の内部抵抗で生じる熱と電熱線で生じる熱を区別し、消費電力が最大になる条件を踏まえて判断すること、さらに実測の水温上昇が計算値より小さい理由を考察することが求められている。
1. 回路に流れる電流、電熱線の消費電力、10 分間で電熱線が発生する熱量を求めよ。
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直列回路の全抵抗は 4.0 + 0.80 = 4.8 Ω。電流は I = 12/4.8 = 2.5 A。電熱線の消費電力は P = I²R = 2.5²×4.0 = 25 W。10 分 = 600 s なので発生熱量は 25×600 = 1.50×10^4 J。このとき電池の内部抵抗でも I²r = 2.5²×0.80 = 5.0 W が消費され、電池が供給する全電力は 12×2.5 = 30 W。電熱線で使われるのは 25/30 ≒ 83% である。
2. 水の温度上昇の実測値から、熱として失われた割合を見積もれ。
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水が得た熱量は 200 g × 4.2 J/(g·K) × (32.0 - 20.0) K = 1.008×10^4 J。電熱線の発生熱量は 1.50×10^4 J なので、失われたのは 4.92×10^3 J、割合にして約 33%。断熱されていないビーカーでは、水面からの蒸発、器壁を通した空気への放熱、水面や器壁からの放射があり、水温が上がるほど放熱は大きくなる。損失が無いと仮定すると上昇は 1.50×10^4/(200×4.2) ≒ 17.9 K で 37.9°C になるはずだが、実測は 12.0 K の上昇にとどまっている。「発生した熱」「水が得た熱」「失われた熱」に分けた収支で示すことが要点である。
3. 「抵抗を 8.0 Ω にすると電力が 2 倍」「0.80 Ω にすると最も発熱する」という 2 つの予想を検討せよ。
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8.0 Ω にすると全抵抗は 8.8 Ω、電流は 12/8.8 ≒ 1.36 A、電熱線の消費電力は 1.36²×8.0 ≒ 14.9 W で、4.0 Ω のときの 25 W より小さくなる。電力は I²R で、R を 2 倍にすると I は約 0.55 倍になるため単純に 2 倍にはならない。電熱線の電力 P = E²R/(R + r)² を R で微分すると R = r のとき最大になるので、R = 0.80 Ω では電流 7.5 A、電力 45 W で最大になる。ただしこのとき電池内部でも同じ 45 W が消費され、効率は 50% である。つまり「最も発熱する抵抗値」と「効率よく水を温める抵抗値」は別問題で、加熱目的なら内部抵抗の小さい電池を使い、電熱線の抵抗を内部抵抗より十分大きくして効率を上げる設計になる。実際には抵抗を変えると昇温の速さが変わり放熱の割合も変わるので、電力比だけで昇温を予測できない点も付言したい。