文化祭の椅子配置と式の変形
文化祭の準備で、体育館に椅子を並べている。1列に(n+4)脚ずつ、n列並べ、受付用に6脚を別に用意する。実行委員のAさんは、椅子の総数を n(n+4)+6 と表し、n=12 のとき「12×16+6=202脚」とメモした。Bさんは、同じ総数を (n+2)²+2 と変形し、n=12 なら「14²+2=198脚」と言う。Cさんは「n(n+4)+6 と (n+2)²+2 は見た目が違うから、どちらかが間違っている。式が違えば、nの値によって結果も変わるはずだ」と主張している。実際に n=12 で並べると、椅子は198脚あった。また、n列を(n+2)列に増やすと、総数はもとの総数より (4n+12) 脚増えるという。nは2以上20以下の整数とし、椅子はすべて同じ大きさで、列の間隔や受付の位置は考えないものとする。AさんとBさんのメモは、どちらも同じ並べ方を式にしたものである。n=5のとき、1列9脚、5列で45脚、受付6脚で51脚になる。
1. Aさんの計算の誤りを指摘し、n(n+4)+6 と (n+2)²+2 がすべてのnについて等しいことを説明せよ。
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n(n+4)+6 を展開すると n²+4n+6 になる。一方、(n+2)²+2 を展開すると n²+4n+4+2=n²+4n+6 となり、両者はすべてのnで同じ値をとる。つまり、見た目が違っても式の変形で互いに移り合う等しい式である。
Aさんの誤りは式そのものではなく、n=12 の代入計算にある。12×16=192 で、これに6を加えると198である。Aさんは202と書いているので、足し算か掛け算のどこかで計算ミスをしている。Bさんの198が正しい。
2. n=20のときの椅子の総数を求めよ。また、列を2列増やしたときの増加数が4n+12で表されることを、式の変形を用いて説明せよ。
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総数を f(n)=n²+4n+6 とおく。n=20 のとき、f(20)=20²+4×20+6=400+80+6=486脚である。
2列増やしたときの総数は f(n+2) である。f(n+2)=(n+2)²+4(n+2)+6=n²+8n+18 と変形できる。したがって増加数は f(n+2)-f(n)=(n²+8n+18)-(n²+4n+6)=4n+12 となる。n=20 なら増加数は4×20+12=92脚で、486+92=578脚となり、f(22)=22²+4×22+6=484+88+6=578と一致する。
3. Cさんの「式が違えばどちらかが間違っている」という考えを、式の変形の意味を交えて批判せよ。また、n=5のとき両方の式が同じ値をとることを確かめよ。
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Cさんは「式の見た目が違う＝値も違う」と考えているが、これは正しくない。式は展開や因数分解、項の整理によって、値は変えずに形だけを変えることができる。n(n+4)+6 と (n+2)²+2 は、前者を展開すると後者と同値になるので、どちらも同じ総数を表している。
n=5 で確かめると、n(n+4)+6=5×9+6=51 であり、(n+2)²+2=7²+2=49+2=51 である。両方とも51になり、Cさんの主張が誤りであることが分かる。Aさんの202という数は計算ミスによるもので、式の違いによるものではない。