Nagasaki High School Entrance Exam - Mathematics study guide
Nagasaki High School Entrance Exam - Mathematics · Work through your exam, one topic at a time.
The Nagasaki Prefecture High School Entrance Examination in Mathematics (長崎県公立高等学校入学者選抜 数学) is the mathematics paper used within Nagasaki Prefecture's public high school admission selection. It is taken by students completing compulsory education who are applying to prefectural public high schools, including those aiming at academic, commercial, industrial, and other upper secondary courses. The paper is written in Japanese and is answered in Japanese, with standard mathematical notation kept in its usual form. It is a written examination in which answers are constructed rather than selected: candidates write numerical values, expressions, and short justifications, and multi-part questions build from a routine calculation to an explanation of reasoning. The Nagasaki High School Entrance Exam - Mathematics study guide has 6 sections and about 260 words.
01数と式：計算の土台を固める
長崎県立高校入試の数学では、数と式は大問1の小問集合から証明問題の式変形まで広く関わります。正負の数、文字式、展開・因数分解、平方根を正確に扱えるかが得点差になります。特に「目的に合わせて式を変形する」力が問われます。 累乗は乗除より先に計算する。(-3)^2=9 と -3^2=-9 は別物である。 同類項は係数をまとめる。単項式の次数は掛けた文字の個数、多項式の次数は項の次数の最大値。 展開公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2、(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。 因数分解は「共通因数→公式→たすき掛け」の順に試す。平方根は a 0、b 0 のとき √(a^2 b)=a√b。分母は有理化する。 文字式の利用では、偶数を 2n、奇数を 2n+1、連続する3つの整数を n-1、n、n+1 と置くと説明しやすい。 (√6+√2)^2-(√6-√2)^2 を計算する。A=√6+√2、B=√6-√2 とみると A^2-B^2=(A+B)(A-B)。A+B=2√6、A-B=2√2 なので、2√6×2√2=4√12=8√3。展開して (8+4√3)-(8-4√3)=8√3 と確かめてもよい。式全体を一気に展開するより、差が積になる形を利用する方が速く、符号ミスも減る。 √(a+b) を √a+√b とする誤り、√2+√3 を √5 とする誤り、因数分解の符号ミス、累乗の括弧の落としに注意する。計算過程を1行ずつ書き、最後に元の式へ代入して検算する。.
50 words, under 1 min02方程式・不等式：解を求め、条件に戻す
長崎県立高校入試では、一次方程式、連立方程式、二次方程式、一次不等式が小問と文章題で出ます。計算だけでなく、解が問題の条件に合うかを吟味する力が問われます。 等式の性質を使い、両辺に同じ数を加減・乗除する。分数は両辺に最小公倍数を掛けて分母を払う。 連立方程式は、片方の文字を消す。加減法は係数をそろえて辺々を引く・足す。代入法は x=… の形を他方へ代入する。 二次方程式は、移項して右辺を0にし、因数分解を優先する。因数分解できなければ解の公式 x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a) を使う。 一次不等式は、負の数で両辺を割る・掛けるときに不等号の向きが逆になる。連立不等式は数直線で共通範囲を取る。 文章題は、求めるものを x と置き、単位をそろえて立式する。割合は「もとになる量×割合」。 2x+3y=13、x-2y=-4 を解く。第二式から x=2y-4。これを第一式に代入すると 2(2y-4)+3y=13、4y-8+3y=13、7y=21、y=3。x=2×3-4=2。よって (x,y)=(2,3)。第一式に代入すると 4+9=13、第二式は 2-6=-4 で一致する。 分母を払うとき定数項を掛け忘れる、不等式で負の数を掛けたのに向きを変えない、二次方程式で因数分解後に解を1つだけ書く、文章題で「以上」「未満」の境界を外す、連立の解を片方だけ書く、といったミスが命取りになる。.
36 words, under 1 min03関数：式・表・グラフを往復する
長崎県立高校入試の関数では、比例・反比例・一次関数・y=ax^2 が中心です。式からグラフ、グラフから式、変域や変化の割合、交点と図形の面積まで一連で問われます。 一次関数 y=ax+b の a は変化の割合（傾き）、b は切片。平行は a が等しい、垂直は傾きの積が -1。 反比例 y=a/x は xy=a が一定。グラフは双曲線で、変域に0をまたぐときは端点だけでなく形を見る。 y=ax^2 で x が p から q まで変化するときの変化の割合は a(p+q)。放物線の対称性も使える。 交点は2つの式を連立して求める。三角形の面積は、座標から底辺と高さを読み取るか、切片で分割する。 動点の問題は、点の位置で場合分けし、x の変域を必ず書く。 y=x^2 について、x が -2 から 1 まで変化するときの変化の割合を求める。変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)。x=-2 のとき y=4、x=1 のとき y=1。増加量は 1-4=-3、1-(-2)=3。よって -3/3=-1。公式 a(p+q)=1×(-2+1)=-1 でも確認できる。グラフでは、区間の両端を結ぶ直線の傾きが変化の割合である。 変化の割合と「yの変化」を混同する、反比例の変域で0を含む区間を端点だけで処理する、y=ax^2 の a の符号を読み違える、交点の x 座標だけで満足する、動点の変域を書かない、などに注意する。.
69 words, under 1 min04図形：性質を根拠に長さと角を導く
長崎県立高校入試の図形では、合同・相似、円周角、三平方の定理、空間図形の体積・表面積が問われます。証明では、仮定と結論を区別し、使った図形の性質を明示することが重要です。 相似条件は「2組の角」「2組の辺の比とその間の角」「3組の辺の比」。相似比 k なら面積比は k^2、体積比は k^3。 円周角は同じ弧に対して等しい。直径に対する円周角は90°。円に内接する四角形では対角の和が180°。 三平方の定理は直角三角形で a^2+b^2=c^2。特別な直角三角形は 1:2:√3 と 1:1:√2。 空間図形は、展開図に戻す、切断面をかく、相似な立体を見つける、の3つが基本。 証明は「仮定→根拠→結論」の順。合同条件・相似条件は略さず書く。 ∠C=90°、AC=3、BC=4 の直角三角形 ABC で、斜辺 AB 上の高さ CH を求める。三平方の定理から AB=√(3^2+4^2)=5。△ABC の面積は 3×4÷2=6。一方、AB を底辺とすると面積は 5×CH÷2。よって 5CH/2=6、CH=12/5。面積を2通りで表す考え方が要点である。 相似比と面積比を混同する、円周角の弧の対応を誤る、補助線を引いた理由を書かない、立体の切断面を奥行き無視でかく、証明で「仮定」と「結論」を逆にする、といったミスに注意する。. 相似比 k は面積比 k^2、体積比 k^3.
48 words, under 1 min05資料の活用・確率：資料を読み、場合の数を数える
長崎県立高校入試では、度数分布表・ヒストグラム・代表値・箱ひげ図・標本調査と、確率の基本が問われます。資料から傾向を読み取る問題では、数値の意味を言葉で説明できるかが大切です。 代表値は平均値・中央値・最頻値。中央値は資料を小さい順に並べ、偶数個なら中央2つの平均。階級値は各階級の真ん中の値。 箱ひげ図は最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を表す。四分位範囲は第3四分位数から第1四分位数を引く。 確率は、同様に確からしいことが前提。P=(目的の事象の場合の数)/(すべての場合の数)。樹形図や表で漏れなく数える。 「少なくとも」は余事象を使う。1-(起こらない確率)。 標本調査は無作為に抽出し、標本の比率から母集団の数量を推定する。 袋に赤玉3個、白玉2個、青玉1個、合計6個が入っている。同時に2個取り出すとき、赤と白が1個ずつ出る確率を求める。すべての場合の数は 6C2=15。赤と白の組み合わせは 3×2=6。よって 6/15=2/5。色ごとに区別して数えると、同じ色でも別の玉として扱う点が重要である。 同時に取り出す問題を順番に取り出す問題として数え、分母と分子をずらす、中央値で並べ替えを忘れる、箱ひげ図の四分位数を最小値・最大値と混同する、標本が偏っているのに母集団全体に断言する、などに注意する。.
26 words, under 1 min06数学的な見方・考え方：筋道を言葉にする
長崎県立高校入試では、計算や図形の技能だけでなく、考えた過程を説明する記述問題、条件を変えて成り立つかを問う問題、関数と図形を融合した問題が出ます。答えだけでなく「なぜそうなるか」を書けるかが差になります。 結論から逆算し、示すべきことを明確にする。仮定と結論を分け、根拠となる定義・定理を書く。 具体例で試す→文字で一般化する、の順が有効。連続する整数は n-1、n、n+1 と置く。 場合分けは、条件が変わる境目を見つけ、重複も漏れもなく分ける。場合分けした理由も書く。 反例を示せば命題が偽であることを説明できる。逆が常に成り立つとは限らない。 記述では、式・数値・単位をそろえ、「よって」「したがって」で結論を明示する。 「連続する3つの整数の和は3の倍数である」ことを説明する。連続する3つの整数を n-1、n、n+1 と置くと、和は (n-1)+n+(n+1)=3n。n は整数だから 3n は3の倍数。よって、連続する3つの整数の和は3の倍数である。文字を1つに統一すると、すべての整数について一度に説明できる。 結論を言い換えただけで根拠がない、文字の定義を書かない、場合分けの漏れ、図の特別な場合だけで一般化する、証明で使っていない条件を並べる、などが減点につながる。答案は、読み手が追える順に書く。.
31 words, under 1 min