Nagasaki High School Entrance Exam - Mathematics cheat sheet

同類項は文字部分が同じ項。係数をまとめる。例: 3x+5x-2x=6x。

指数法則: a^m×a^n=a^(m+n), a^m÷a^n=a^(m-n), (a^m)^n=a^(mn), (ab)^n=a^n b^n。

乗法公式: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2。

(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab を展開の基本形として使う。

素因数分解は小さい素数から順に割る。平方根は √(a^2 b)=a√b の形に整理する。

√a×√b=√(ab), √a÷√b=√(a/b)。分母の有理化は分母と同じ無理数を分子分母に掛ける。

絶対値 |a| は数直線上で原点からの距離。a<0 のとき |a|=-a。

循環小数は分母が 9, 99, 999… の分数に直せる。例: 0.333…=3/9=1/3。

一次方程式は等式の性質(両辺に同じ数を加減乗除)で x を孤立させる。

移項は符号を変えて反対の辺へ動かす操作。両辺を負の数で割ると不等号の向きが逆になる。

連立方程式は加減法か代入法で1文字消去。係数をそろえて辺々引くのが速い。

二次方程式 ax^2+bx+c=0 の解は x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

因数分解できるなら (x-p)(x-q)=0 から x=p, q。解の公式は因数分解不能なときの最終手段。

文章題は求める量を x とおき、数量関係を等式にする。答えが問題の条件(個数は整数、長さは正)を満たすか確認する。

不等式の解は数直線で表す。a<x≦b は a が白丸、b が黒丸。

比例式 a:b=c:d は ad=bc。連比は共通項の最小公倍数でそろえて統一する。

比例 y=ax は原点を通る直線、変化の割合は一定で a。反比例 y=a/x は双曲線で xy=a が一定。

一次関数 y=ax+b の傾きは a、切片は b。傾きは x が1増えるときの y の増加量。

変化の割合=(y の増加量)/(x の増加量)。二次関数では区間によって変わり、平均変化率とも呼ぶ。

y=ax^2 のグラフは放物線で頂点は原点、軸は y 軸。|a| が大きいほど開き方は狭い。

y=ax^2 で x が p から q まで変化するときの変化の割合は a(p+q)。

2点 (x1,y1),(x2,y2) を通る直線の傾きは (y2-y1)/(x2-x1)、式は y-y1=傾き×(x-x1)。

2直線が平行なら傾きが等しい。垂直なら傾きの積が -1。

交点は2つの式を連立して求める。グラフの共有点の個数は方程式の実数解の個数に等しい。

三角形の内角の和は180°、n角形の内角の和は (n-2)×180°、外角の和は常に360°。

合同条件: 3辺相等、2辺とその間の角、1辺と両端角。直角三角形は斜辺と1鋭角、斜辺と他の1辺。

相似条件: 3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角、2組の角が等しい。相似比 a:b なら面積比 a^2:b^2、体積比 a^3:b^3。

平行線の錯角・同位角は等しい。三角形の外角は隣り合わない2内角の和に等しい。

三平方の定理: 直角三角形で a^2+b^2=c^2 (c は斜辺)。30°-60°-90° は 1:2:√3、45°-45°-90° は 1:1:√2。

円周角は中心角の半分。同じ弧に対する円周角は等しく、直径に対する円周角は90°。

円錐の側面積は πrl (r は底面半径、l は母線)、表面積は πr^2+πrl、体積は (1/3)πr^2 h。

おうぎ形の弧の長さは 2πr×(中心角/360)、面積は πr^2×(中心角/360)。

平均値=合計÷個数。中央値は資料を小さい順に並べた中央の値(偶数個なら中央2つの平均)。

最頻値は最も多く現れる値。階級値は各階級の中央の値で、度数分布表からの平均計算に使う。

範囲=最大値-最小値。四分位数は中央値で前半・後半に分け、それぞれの中央値を Q1, Q3 とする。

四分位範囲=Q3-Q1。箱ひげ図は最小値・Q1・中央値・Q3・最大値の5点でかく。

確率=(目的の場合の数)/(すべての場合の数)。同様に確からしいことが前提。

2つのさいころは (大,小) の順序対で数えると36通り。和や積の表を作ると数え漏れが防げる。

樹形図は順序のある事象、表は2変数の組合せに向く。少なくとも1つ は余事象 1-(1つもない確率)。

標本調査では無作為に抽出する。標本の比率から母集団の数量を比例で推定する。

証明は「仮定」「結論」を明確にし、仮定から既知の定理・性質を根拠に結論を導く。根拠を必ず示す。

逆は仮定と結論を入れ替えたもの。逆が常に成り立つとは限らない(例: 対頂角は等しいが、等しい角は対頂角とは限らない)。

反例を1つ挙げれば命題が偽であることを示せる。反例は条件を満たし結論を満たさない例。

「少なくとも」「以上」「より大きい」など条件語を正確に読み、境界値を含むか確認する。

帰納的に具体例から規則を見つけ、それを文字式で一般化し、演繹的に証明する流れが定石。

文字式で表すと数の性質(連続する整数は n, n+1、偶数は 2n、奇数は 2n+1)が証明できる。

図形の証明では合同・相似の条件を根拠に、対応する辺や角が等しいことを順序立てて書く。

問題の条件を図や表に整理して可視化し、既知の公式・定理に帰着させてから計算する。