Nagasaki High School Entrance Exam - Mathematics flashcards

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同類項

文字の部分が同じ項のこと。係数をまとめて計算できる。例: 3x+5x-2x は係数 3+5-2=6 より 6x になる。

指数法則

a^m×a^n=a^(m+n)、a^m÷a^n=a^(m-n)、(a^m)^n=a^(mn)、(ab)^n=a^n b^n。同じ底の累乗は指数を加減してまとめる。

乗法公式

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2。展開を速く正確に行うための基本公式。

分母の有理化

分母に平方根があるとき、分母と同じ無理数を分子分母に掛けて分母を整数にする操作。例: 1/√2=√2/2。

平方根の整理

√(a^2 b)=a√b を用いて根号の中を最も小さい整数にする。例: √12=2√3、√50=5√2。

移項

等式や不等式で、一方の辺の項を符号を変えて他方の辺へ移す操作。等式の性質から導かれ、方程式を解く基本手順となる。

連立方程式の加減法

2式の係数をそろえ、辺々を加えるか引いて1文字を消去する解法。残った1文字の方程式を解き、代入して他方も求める。

二次方程式の解の公式

ax^2+bx+c=0 の解は x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。因数分解できないときも解を求められる万能な公式である。

不等式の性質

両辺に同じ数を加減しても不等号の向きは変わらない。負の数を掛けたり割ったりすると向きが逆になる。

比例式

a:b=c:d は ad=bc と同値。連比は共通する項の最小公倍数でそろえてから1つの比に統一する。

変化の割合

(y の増加量)÷(x の増加量)で求める。一次関数では常に傾き a に等しく、y=ax^2 では a(p+q) になる。

一次関数の傾きと切片

y=ax+b で a は傾き、b は切片。傾きは x が1増えるときの y の増加量を表し、切片は y 軸との交点の y 座標。

放物線 y=ax^2

原点を頂点とし y 軸を軸とする放物線。|a| が大きいほどグラフの開きは狭く、a<0 なら上に開く。

2直線の平行と垂直

平行な2直線は傾きが等しい。垂直な2直線は傾きの積が -1 になる。座標平面上で直線の関係を判断する条件。

2点を通る直線の式

傾きは (y2-y1)/(x2-x1) で求め、y-y1=傾き×(x-x1) に代入して式を作る。切片は整理してから読み取る。

三角形の内角と外角

三角形の内角の和は180°。1つの外角は、隣り合わない2つの内角の和に等しい。n角形の内角の和は (n-2)×180°。

三角形の相似条件

3組の辺の比が等しい、2組の辺の比とその間の角が等しい、2組の角が等しい、のいずれか。相似比 a:b なら面積比は a^2:b^2。

三平方の定理

直角三角形で斜辺を c とすると a^2+b^2=c^2。30°-60°-90° は 1:2:√3、45°-45°-90° は 1:1:√2 の比になる。

円周角の定理

同じ弧に対する円周角は等しく、中心角の半分に等しい。直径に対する円周角は常に90°になる。

円錐の側面積と体積

底面半径 r、母線 l、高さ h の円錐で、側面積は πrl、表面積は πr^2+πrl、体積は (1/3)πr^2 h である。

おうぎ形の弧と面積

半径 r、中心角 a° のおうぎ形で、弧の長さは 2πr×a/360、面積は πr^2×a/360。円全体に対する割合で求める。

平均値・中央値・最頻値

平均値は合計÷個数。中央値は小さい順に並べた中央の値。最頻値は最も多く現れる値。資料の代表値として使う。

四分位数と四分位範囲

資料を小さい順に並べ、中央値で前半・後半に分けた各中央値が Q1, Q3。四分位範囲は Q3-Q1 で、データの散らばりを表す。

確率の求め方

確率=(目的の場合の数)÷(すべての場合の数)。すべての場合が同様に確からしいことが前提で、0以上1以下の値をとる。

余事象の確率

「少なくとも1つ」の確率は 1-(1つも起こらない確率) で求める。場合分けが多いときは余事象を使うと計算が簡単になる。

標本調査

母集団から無作為に標本を抽出して調査する方法。標本での比率を母集団の数量に比例で当てはめて推定する。

証明の仮定と結論

証明では、仮定から既知の定理や性質を根拠として結論を導く。根拠を明示し、筋道を順序立てて書く必要がある。

命題の逆と反例

逆は仮定と結論を入れ替えたもの。逆は常に成り立つとは限らない。反例を1つ挙げれば命題が偽であると示せる。

文字式による証明

連続する整数は n, n+1、偶数は 2n、奇数は 2n+1 と表す。式変形で数の性質を一般的に証明できる。

合同条件

3辺相等、2辺とその間の角、1辺と両端角のいずれか。直角三角形は斜辺と1鋭角、斜辺と他の1辺も使える。

比例と反比例

比例 y=ax は原点を通る直線で、反比例 y=a/x は双曲線。反比例では xy=a が常に一定で、x と y は同時に増えない。

度数分布表の階級値

各階級の中央の値。度数分布表から平均を求めるときは、各階級値に度数を掛けた合計を度数の合計で割る。