生徒会新聞の印刷会社と予算
生徒会新聞を x 部印刷することになった。新聞は文化祭で来場者に配り、余った分は後日、地域の公民館に置く。印刷会社Aは基本料金1,200円に1部20円、会社Bは基本料金300円に1部35円かかる。予算は10,000円で、xは1以上200以下の整数とする。Aさんは「会社Aの方が安くなるのは、1200+20x < 300+35x を解いて x<60 のときだ」と説明した。Bさんは「x=60 のときはどちらも同じ金額で、61部以上なら会社Aの方が安い」と反論した。さらに、会社Aは100部以上のとき基本料金が800円になるキャンペーン中である。Cさんは「キャンペーンを使えば、200部でも予算内に収まるかどうかは、式を立てなくても感覚で分かる」と言うが、生徒会はきちんと場合分けして検討することにした。会社Bにキャンペーンはない。AさんとBさんの説明は、どちらも同じ不等式から出発している。会社Aのキャンペーンは基本料金だけが変わり、1部20円は変わらない。新聞の印刷は1部から200部まで、1部単位で頼める。
1. Aさんの不等式の解き方の誤りを指摘し、会社Aが会社Bより安くなるxの範囲を正しく求めよ。
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比べる式は 1200+20x < 300+35x である。両辺から20xを引くと 1200 < 300+15x となり、さらに300を引くと 900 < 15x となる。両辺を15で割ると 60 < x、すなわち xは61以上である。
Aさんは x<60 と答えたが、これは不等号の向きを逆にした誤りである。x=60 のときは、会社Aが1200+20×60=2400円、会社Bが300+35×60=2400円で同額になる。x=50 なら会社Aは2200円、会社Bは2050円で会社Bが安い。したがって、会社Aが安くなるのは61部以上200部以下のときである。
2. 予算10,000円で会社Aに印刷を頼むとき、キャンペーンを考慮して最大何部まで印刷できるか。場合分けして求めよ。
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会社Aの費用は、部数によって基本料金が変わるので場合分けする。
1部以上99部以下では、費用は1200+20x 円である。1200+20x≦10000 を解くと 20x≦8800、x≦440 となる。この範囲では xは99以下なので、99部まで予算内である。
100部以上200部以下では、基本料金が800円になるので、費用は800+20x 円である。800+20x≦10000 を解くと 20x≦9200、x≦460 となる。xは200以下なので、200部まで予算内である。
したがって、最大200部まで印刷できる。実際に200部の費用は800+20×200=4800円で、10,000円を超えない。
3. 200部印刷するとき、会社Aと会社Bの費用を比較し、どちらを選ぶべきか理由を付けて答えよ。また、キャンペーンがなかった場合と比べて、選択は変わるか。
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200部のとき、会社Aはキャンペーンにより800+20×200=800+4000=4800円である。会社Bは300+35×200=300+7000=7300円である。会社Aの方が7300-4800=2500円安い。
キャンペーンがなかった場合、会社Aは1200+20×200=1200+4000=5200円となる。それでも会社Bの7300円より2100円安い。したがって、キャンペーンの有無にかかわらず会社Aを選ぶのがよい。キャンペーンは差をさらに広げるが、選択そのものは変えない。