長方形の辺上を動く点と三角形の面積
座標平面上に長方形ABCDがある。A(0,0)、B(6,0)、C(6,4)、D(0,4)とし、座標軸の1目盛りを1cmとする。点PはAを出発し、辺AB上をBまで、次に辺BC上をCまで、秒速1cmで動く。点Pの出発からの時間をt秒、三角形APDの面積をy cm²とする。ただし、点PがAにあるときはy=0とし、tの範囲は0以上10以下とする。Aさんは「tが増えるとyもいつも増え続ける」と予想した。Bさんは「辺BC上では、点Pが横に動かないからyは一定になるはずだ」と言う。Cさんは「t=6の前後で式が変わるなら、グラフも折れ曲がるはずだ。t=3とt=8の面積を比べれば予想を確かめられる」と話している。座標を用いて考え、必要なら三角形の面積を座標から求めてもよい。点Pは頂点に重なるときも、その頂点の座標で考える。長方形の内部には点をとらない。点PはAからCまで一度も止まらない。三角形APDの頂点AとDは固定されている。面積は小数で考えてもよい。
1. 0≦t≦6のとき、yをtの式で表せ。また、t=6のときのyを求めよ。
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0≦t≦6では、点Pは辺AB上を動くので、Pの座標は(t,0)と表せる。三角形APDの底辺をADとみると、ADはA(0,0)とD(0,4)を結ぶ長さ4cmの線分である。高さは、Pから直線ADまでの距離、すなわちPのx座標tである。
したがって、面積は y=1/2×4×t=2t となる。t=6のとき、PはB(6,0)に一致し、y=2×6=12である。これは三角形ABDの面積が1/2×6×4=12であることとも一致する。
2. 6≦t≦10のとき、yをtの式で表し、yが一定になる理由を説明せよ。
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6≦t≦10では、点Pは辺BC上を動く。Bに着くのがt=6、Cに着くのがt=10なので、Pの座標は(6,t-6)と表せる。
三角形APDの底辺をADとすると、ADの長さは4cmで一定である。高さは、Pから直線ADまでの距離であり、Pのx座標は常に6である。したがって高さは6cmで、tに依存しない。面積は y=1/2×4×6=12 となり、一定である。
座標で確かめてもよい。A(0,0)、D(0,4)、P(6,t-6)の三角形の面積は、底辺ADを縦線とみなせば、高さがPのx座標6なので12になる。t=6でもt=10でもy=12である。
3. AさんとBさんの予想のどちらが正しいか。t=3とt=8のyの値を用いて説明し、yのグラフの形を述べよ。
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t=3は0≦t≦6の範囲なので、y=2×3=6である。t=8は6≦t≦10の範囲なので、y=12である。t=3からt=8にかけてyは6から12へ増えたが、t=6以降は12のまま一定である。したがって「tが増えるとyもいつも増え続ける」というAさんの予想は正しくない。Bさんの「辺BC上ではyは一定になる」という予想が正しい。
yのグラフは、0≦t≦6では原点(0,0)から点(6,12)へ進む傾き2の直線であり、6≦t≦10ではy=12の水平な線分になる。t=6の前後で式は変わるが、t=6でどちらもy=12なのでグラフはつながる。折れ曲がる点は(6,12)である。