円に内接する四角形と面積の条件
円Oに内接する四角形ABCDがある。頂点A、B、C、Dは円周上にこの順に並び、AB=6cm、BC=8cm、∠ABC=90°である。点Dは、Bを含まない側の弧AC上にあり、AD=CDを満たす。Aさんは「∠ABC=90°なら、ACは円Oの直径になる」と考えた。Bさんは「AD=CDなら、Dは弧ACの中点だから、四角形ABCDの面積は対角線ACの長さだけで決まる」と主張した。Cさんは「面積は、三角形ABCと三角形ADCに分けて、それぞれACを底辺とみれば求められる。高さはACに垂直な線分の長さになる」と言う。円Oの半径と四角形の面積を考える。必要なら三平方の定理や、円周角の定理を用いてよい。点DはBと異なる位置にあり、四角形ABCDは凸であるとする。図は与えられていないので、条件から位置関係を判断すること。∠ABCは辺ABと辺BCの間の角である。ADとCDは点Dから出る2辺である。ACは四角形の対角線である。Bさんは、ACの長さが同じならBの位置が変わっても面積は同じだと考えている。Aさんは円周角の定理を使うつもりである。
1. ACの長さと円Oの半径を求めよ。また、ACが円Oの直径になる理由を説明せよ。
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三角形ABCは∠ABC=90°の直角三角形なので、三平方の定理から AC²=AB²+BC²=6²+8²=36+64=100 となり、AC=10cmである。
円周上に点A、B、Cがあり、∠ABC=90°である。円周角の定理の逆により、90°の円周角が弧ACに対する角であるとき、その弧ACは半円になり、弦ACは直径になる。したがってACは円Oの直径である。半径はACの半分で、10÷2=5cmである。
2. AD=CDのとき、ADの長さと四角形ABCDの面積を求めよ。
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ACは円Oの直径なので、直径に対する円周角である∠ADCも90°である。AD=CDで、三角形ADCは直角二等辺三角形になる。斜辺AC=10cmなので、AD=CD=10/√2=5√2cmである。
面積は2つの三角形に分けて求める。三角形ABCは1/2×6×8=24cm²である。三角形ADCは直角をはさむ2辺が5√2cmなので、1/2×(5√2)²=1/2×50=25cm²である。したがって四角形ABCDの面積は24+25=49cm²である。
ACを底辺とみるなら、三角形ABCの高さは6×8÷10=4.8cm、三角形ADCの高さは5cmである。面積は1/2×10×4.8+1/2×10×5=24+25=49cm²と確かめられる。
3. Bさんの「四角形ABCDの面積は対角線ACの長さだけで決まる」という主張は正しいか。AC=10cm、∠ABC=90°、AD=CDを保ったまま、AB=BC=5√2cmの場合を反例として用いて説明せよ。
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Bさんの主張は正しくない。AC=10cm、∠ABC=90°、AD=CDという条件を保っても、Bの位置を変えれば三角形ABCの面積が変わるからである。
反例としてAB=BC=5√2cmの場合を考える。このときも AB²+BC²=50+50=100=AC² なので∠ABC=90°であり、AC=10cmである。三角形ABCは直角二等辺三角形で、面積は1/2×(5√2)²=25cm²である。三角形ADCはもとの条件と同じで面積25cm²だから、四角形の面積は25+25=50cm²となる。
もとのAB=6cm、BC=8cmのときの面積は49cm²だったので、ACの長さが同じでも面積は異なる。したがって面積はACの長さだけでは決まらず、Bの位置、つまりABやBCの長さにも依存する。