カードゲームの確率と公平性
1から5までの数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。この中から2枚を同時に引く。引いた2枚の数の和が偶数ならAの勝ち、奇数ならBの勝ちというゲームをする。Aさんは「和が偶数になるのは、同じ偶数どうしの2通りと、同じ奇数どうしの3通りで、全部で5通り。だからAが勝つ確率は5/10=1/2で公平だ」と主張した。Bさんは「偶数のカードは2枚しかないから、同じ偶数どうしは1通りしかない」と言う。Cさんは「実際に全場合を書き出すと、和が偶数になるのは(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)の4通りだった」とメモしている。カードは区別せず、どの2枚の組も同様に確からしいとする。ゲームは1回だけ行い、引いたカードは戻さない。このゲームを文化祭の出し物で使う予定で、参加者にはAとBのどちらかを選んでもらう。AさんとBさんの主張は、場合の数の数え方の違いから生じている。Cさんのメモは、実際にカードを書き出して数えた結果である。カードの数字は1,2,3,4,5で、同じ数字のカードはない。確率は、すべての組の数に対する、条件を満たす組の数の割合で求める。ゲームを公平にするとは、AとBの勝つ確率が等しくなることである。
1. 2枚のカードの組は全部で何通りあるか。また、Aが勝つ確率とBが勝つ確率を求めよ。
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5枚から2枚を同時に引く組の数は、順序を区別しないので 5×4÷2=10通りである。
和が偶数になるのは、2枚が同じ偶奇のときである。奇数は1、3、5の3枚なので、奇数どうしの組は(1,3)、(1,5)、(3,5)の3通りである。偶数は2、4の2枚なので、偶数どうしの組は(2,4)の1通りである。合計は3+1=4通りである。
したがって、Aが勝つ確率は4/10=2/5、Bが勝つ確率は6/10=3/5である。1/2ずつではないので、このゲームは公平ではない。Bの方が勝ちやすい。
2. Aさんの「同じ偶数どうしの2通り」という数え方の誤りを説明し、Bさんの「1通り」が正しい理由を、カードの数字を挙げて述べよ。
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偶数のカードは2と4の2枚だけである。この2枚を同時に引く組は(2,4)の1通りしかない。Aさんは、おそらく(2,4)と(4,2)を別の組として数えたり、偶数が2枚あることから2通りあると考えたりしている。しかし、2枚を同時に引くときは順序を区別しないので、(2,4)と(4,2)は同じ組である。
奇数どうしは1、3、5から2枚を選ぶので、(1,3)、(1,5)、(3,5)の3通りである。偶数どうしの1通りと合わせて、和が偶数になる組は4通りになる。Bさんの言う1通りが正しい。
3. ゲームを公平にするために、Aの勝ちの条件を1つ提案し、そのときのAの勝つ確率を計算して、公平になる理由を述べよ。カードの引き方は変えない。
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提案の例として、「引いた2枚の数の和が素数ならAの勝ち、素数でなければBの勝ち」とする。
2枚の和としてあり得る値は3から9までで、そのうち素数は3、5、7である。和が3になる組は(1,2)の1通り、和が5になる組は(1,4)、(2,3)の2通り、和が7になる組は(2,5)、(3,4)の2通りである。合計は1+2+2=5通りである。
全部の組は10通りなので、Aが勝つ確率は5/10=1/2、Bが勝つ確率も1/2になる。したがって、この条件ならゲームは公平になる。