数と式：計算の土台を固める
数と式：計算の土台を固める
長崎県立高校入試の数学では、数と式は大問1の小問集合から証明問題の式変形まで広く関わります。正負の数、文字式、展開・因数分解、平方根を正確に扱えるかが得点差になります。特に「目的に合わせて式を変形する」力が問われます。
押さえるべき規則
- 累乗は乗除より先に計算する。(-3)^2=9 と -3^2=-9 は別物である。
- 同類項は係数をまとめる。単項式の次数は掛けた文字の個数、多項式の次数は項の次数の最大値。
- 展開公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2、(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a-b)=a^2-b^2、(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab。
- 因数分解は「共通因数→公式→たすき掛け」の順に試す。平方根は a>0、b>0 のとき √(a^2 b)=a√b。分母は有理化する。
- 文字式の利用では、偶数を 2n、奇数を 2n+1、連続する3つの整数を n-1、n、n+1 と置くと説明しやすい。
例題で確認
(√6+√2)^2-(√6-√2)^2 を計算する。A=√6+√2、B=√6-√2 とみると A^2-B^2=(A+B)(A-B)。A+B=2√6、A-B=2√2 なので、2√6×2√2=4√12=8√3。展開して (8+4√3)-(8-4√3)=8√3 と確かめてもよい。式全体を一気に展開するより、差が積になる形を利用する方が速く、符号ミスも減る。
失点しやすい点
√(a+b) を √a+√b とする誤り、√2+√3 を √5 とする誤り、因数分解の符号ミス、累乗の括弧の落としに注意する。計算過程を1行ずつ書き、最後に元の式へ代入して検算する。