力学台車のテープ記録から運動を読み解く
長崎県内の学校の理科室で、力学台車の運動を調べる実験を行った。長さ1.0 mの斜面を水平な床に対して約10°の角度で設置し、斜面の上端から台車を静かに放した。台車に取り付けた記録テープは、1秒間に50回打点する記録タイマーで記録した。打点を5個おき（0.1秒ごと）に区切ってテープを切り、各区間の長さを測ったところ、斜面を下っている間は順に 1.0 cm、3.0 cm、5.0 cm、7.0 cm、9.0 cm であった。台車は5つ目の区間が終わった時刻（放してから0.5秒後）に斜面の下端を通過し、そのまま水平な床の上を進んだ。水平面での区間の長さは 8.8 cm、6.4 cm、4.0 cm であった。床と台車の間には摩擦がはたらく。テープの質量、空気の抵抗、斜面と水平面のつなぎ目の影響は無視できるものとする。台車は放す前まで手で支えており、放した瞬間から記録が始まるようにした。実験のあと、生徒から「水平面に出たあとも台車は速くなっている」「いや、遅くなっている」という声が上がり、記録の読み取り方で意見が分かれた。斜面の角度を変えると加速度が変わるかどうかも、あわせて確かめる予定である。
1. 斜面を下っている間の台車の加速度と、台車が斜面の下端を通過した瞬間の速さを求めよ。計算の過程も示すこと。
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まず各区間の平均の速さを求める。区間の長さ÷0.1秒で、10 cm/s、30 cm/s、50 cm/s、70 cm/s、90 cm/s となる。 等加速度直線運動では、ある区間の平均の速さは、その区間の中央の時刻における瞬間の速さに等しい。したがって0.05秒で10 cm/s、0.15秒で30 cm/s、…、0.45秒で90 cm/sとなり、0.1秒ごとに20 cm/sずつ速さが増えている。 加速度 = 20 cm/s ÷ 0.1 s = 200 cm/s² = 2.0 m/s²。 下端通過は0.50秒なので、0.45秒の瞬間の速さ90 cm/sに0.05秒分の増加 200×0.05 = 10 cm/s を加えて 100 cm/s = 1.0 m/s。 別解として、区間の長さの差が0.1秒あたり2.0 cmなので、加速度 = 2.0 cm ÷ (0.1 s)² = 200 cm/s² としても同じ結果になる。
2. 0.5秒以降の台車の運動を、速さの変化に注目して説明せよ。また、そのように運動する理由を、はたらく力の言葉を使って述べよ。
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0.5〜0.6秒の平均の速さは 8.8÷0.1 = 88 cm/s、0.6〜0.7秒は64 cm/s、0.7〜0.8秒は40 cm/s。0.1秒ごとに24 cm/sずつ遅くなっており、減速の割合は一定で、加速度は −240 cm/s² = −2.4 m/s² とみなせる。 速さが一定の割合で減っているのは、台車にはたらく力の合力が一定だからである。水平面では、台車の運動の向きと逆向きに、一定の大きさの摩擦力がはたらき続けるため、台車はだんだん遅くなる。 もし摩擦がはたらかなければ、水平面では水平方向の力の合力が0になり、台車は等速直線運動を続けるはずである。斜面で速さが増えたのは、斜面に平行な下向きの力が摩擦力より大きかったためである。
3. 台車の速さが1.0 m/sから0.40 m/sに変わったとき、運動エネルギーは何倍になるか。また、減った分の力学的エネルギーは何に変わったと考えられるか。
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運動エネルギーは質量に比例し、速さの2乗に比例する。質量は変わらないので、速さが 1.0 → 0.40 になると、運動エネルギーは (0.40÷1.0)² = 0.16倍になる。 減った分のエネルギーが消えたわけではない。摩擦力がはたらくときに生じる熱や音のエネルギーに変わった。 つまり、力学的エネルギーは保存されず、その一部が熱として床や台車、まわりの空気に移った。斜面を下るときにも摩擦力がはたらいているので、位置エネルギーのすべてが運動エネルギーになったわけではない点にも注意する。