斜面を下る台車の加速度とエネルギー
沖縄の高校で、摩擦の少ない斜面を使い、台車の運動とエネルギーの関係を調べる実験を行った。長さ1.00 mの斜面を水平から15°に固定し、質量0.50 kgの台車を上端で静かに放した。斜面に沿って0.20 m間隔で5つのゲートを置き、台車の前端が0 mのゲートを切った瞬間をスタートとした。各ゲートの通過時刻を0.01 s単位で記録すると、0.20 mが0.45 s、0.40 mが0.64 s、0.60 mが0.78 s、0.80 mが0.90 s、1.00 mが1.01 sであった。ゲートの位置は巻尺で測り、±0.01 mの範囲で正確である。重力加速度は9.8 m/s²、sin15°=0.259、cos15°=0.966とする。同じ装置で別の班が1.00 mの通過時刻を0.80 sと記録したが、放す瞬間に手が台車に触れたと話している。ある生徒は「斜面の角度が大きいほど摩擦力も大きくなる」と主張した。実験ノートには、車輪の回転と空気抵抗は考えないと書かれている。ストップウォッチの反応の遅れは0.10 s程度あるが、すべての記録に同じ向きに働くとは限らない。台車の車輪は軽く、回転に使われるエネルギーは無視できる。実験は同じ条件で3回行ったが、記録したのは代表的な1回分である。斜面の下端には台車を受け止めるクッションを置いた。15°という角度は、分度器で斜面と水平面の間を測って決めた。
1. 0.40 mと0.80 mの記録から加速度をそれぞれ求め、等加速度運動とみなせるか。計算式を示して答えよ。
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静止から距離 s を時間 t で進むとき、s = 1/2 a t² より a = 2s/t² である。 0.40 mでは a = 2×0.40/(0.64)² = 0.80/0.4096 ≈ 1.95 m/s²。 0.80 mでは a = 2×0.80/(0.90)² = 1.60/0.81 ≈ 1.98 m/s²。 1.00 mでも a = 2×1.00/(1.01)² ≈ 1.96 m/s² となる。 3つの値が約1.96 m/s²でほぼ一致するので、測定誤差の範囲で等加速度運動とみなせる。区間ごとの平均速度から求めるのではなく、スタートからの距離と時刻を使う点が重要である。
2. 斜面の摩擦は無視できるか。理論値と比較し、別班の0.80 sという記録の扱いも述べよ。
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摩擦がなければ a = g sin15° = 9.8×0.259 ≈ 2.54 m/s² である。測定値1.96は理論値より約23%小さい（(2.54−1.96)/2.54 ≈ 0.23）。したがって摩擦や空気抵抗は無視できない。摩擦力は m(g sinθ−a) = 0.50×(2.54−1.96) ≈ 0.29 N と見積もれる。 別班の「1.00 mを0.80 s」は a = 2×1.00/(0.80)² = 3.13 m/s² となり、摩擦を考えれば理論値2.54を超えることはない。放す瞬間に手が触れて初速がついた可能性が高く、この記録は考察から除外する。 また、角度を大きくすると cosθ が小さくなり、同じ摩擦係数なら摩擦力は小さくなる。データだけでは「角度が大きいほど摩擦力が大きい」とは支持できない。
3. 1.00 m地点での速さと力学的エネルギーを求め、失われたエネルギーを説明せよ。
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等加速度運動とみなすと、1.00 m地点の速さは v = a t = 1.96×1.01 ≈ 1.98 m/s。 運動エネルギーは K = 1/2 m v² = 1/2×0.50×(1.98)² ≈ 0.98 J。 斜面の高さは h = 1.00×sin15° = 0.259 m なので、位置エネルギーの減少は ΔU = m g h = 0.50×9.8×0.259 ≈ 1.27 J。 したがって 1.27−0.98 = 0.29 J が摩擦などによって熱や音のエネルギーに変わったと考える。割合は約23%で、摩擦を無視できないという判断と一致する。