気泡付きの石の密度測定と誤差評価
中学校の理科部が、海岸で採集した多孔質の石の密度を求めた。石の質量は電子天秤で84.6 g（最小目盛り0.1 g）。50.0 cm³のメスシリンダーに水を50.0 cm³入れ、石を静かに沈めて水面の目盛りを読んだ。1回目は78.0 cm³、2回目は78.5 cm³だった。3回目は、石を水中から出した直後に付着した気泡を払わずに沈め、81.0 cm³になった。3回目について生徒は「体積が大きく出たので、こちらが正確だ」と主張した。水温は25°Cで、メスシリンダーの最小目盛りは1 cm³、読み取りの不確かさは±0.5 cm³程度である。石は水を吸わないものとし、糸の体積は無視できる。レポートには「密度=質量÷体積」と書き、有効数字2桁で報告することになっている。石の形は不規則で、最大長さは約4 cmである。1回目と2回目は、石を沈める前に軽く振って気泡を落とした。水は室温と同じ25°Cに保ち、メスシリンダーは水平な台に置いた。目盛りは液面の最下点で、目の高さを合わせて読んだ。石の表面には小さな凹凸があるが、水を吸わない。電子天秤は使用前に0.0 gを示すことを確認した。
1. 1回目から3回目までの体積と密度を計算し、報告に使う値を決めよ。
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体積は、水面の目盛りから最初の50.0 cm³を引いて求める。 1回目：78.0−50.0 = 28.0 cm³、密度 84.6÷28.0 ≈ 3.02 g/cm³。 2回目：78.5−50.0 = 28.5 cm³、密度 84.6÷28.5 ≈ 2.97 g/cm³。 3回目：81.0−50.0 = 31.0 cm³、密度 84.6÷31.0 ≈ 2.73 g/cm³。 1回目と2回目は近い値で、3回目だけ体積が大きい。3回目は気泡を払わずに沈めたため、気泡の体積だけ余分に水面が上がったと考えられる。したがって1回目と2回目の平均 (3.02+2.97)/2 ≈ 3.00 g/cm³ を採用し、有効数字2桁で 3.0 g/cm³ と報告する。
2. 「体積が大きく出た3回目が正確」という主張を評価し、改善策を書け。
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体積が大きく出たことは正確さの証拠にはならない。気泡が石の表面に付くと、その気泡の体積だけ水を押しのけるので、見かけの体積は実際より大きくなる。体積を大きく見積もると密度は小さくなる。3回目はこの系統誤差を含む可能性が高い。 改善策は、石を沈める前に水中で軽く振って気泡を落とす、糸でつるして静かに沈める、メスシリンダーを軽く叩いて気泡を浮かせる、などである。目盛りは液面の最下点で、目の高さを合わせて読む。複数回測定して値のそろったものを採用する。
3. 質量と体積の不確かさが密度に与える影響を比べ、有効数字2桁で結果と不確かさを書け。
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質量の不確かさは0.1 gなので、相対不確かさは 0.1÷84.6 ≈ 0.0012、約0.12%である。 体積の不確かさは±0.5 cm³程度で、28.0 cm³に対して 0.5÷28.0 ≈ 0.018、約1.8%である。 体積の不確かさの方が約15倍大きく、密度の不確かさを決めている。密度3.0 g/cm³に対して1.8%は約0.05 g/cm³なので、結果は 3.0±0.05 g/cm³ と表せる。有効数字2桁で報告するなら 3.0 g/cm³ である。体積測定の改善を優先すべきである。