Prima cargada, stop-loss alejado y TVaR en una cartera Poisson-lognormal
Cartera de 3,000 pólizas de daños con exposición anual uniforme. El modelo de frecuencia es Poisson con lambda de 0.12 siniestros por póliza-año y la severidad por siniestro es lognormal con media de 180,000 pesos y coeficiente de variación de 1.4, independiente de la frecuencia. La estructura de gastos es 22% de la prima comercial y el margen de utilidad objetivo es 8% de la prima. La dirección de suscripción estudia un contrato de exceso de pérdida agregado con prioridad de 75.0 MDP y cobertura de 20.0 MDP; el reasegurador cotiza una prima de 0.55 MDP. El área de capital pregunta además por el TVaR al 99% del siniestro agregado anual, porque hoy se usa la aproximación normal sobre la media y la varianza. La cartera no ha tenido cambios de mezcla y no se modelan catástrofes.
1. Calcula la prima pura, la desviación estándar del siniestro agregado y la prima comercial por póliza con la carga de seguridad planteada.
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Frecuencia y severidad. E[N] = 3,000 × 0.12 = 360 siniestros por año. Severidad: media 180,000; desviación 252,000; por tanto E[X²] = 180,000² × (1 + 1.4²) = 3.24×10^10 × 2.96 = 9.5904×10^10.
Agregado (modelo colectivo).
- E[S] = E[N] · E[X] = 360 × 180,000 = 64.80 MDP (prima pura).
- Var(S) = E[N] · E[X²] = 360 × 9.5904×10^10 = 3.4525×10^13, de donde sigma(S) = 5.876 MDP.
- Coeficiente de variación del agregado = 5.876 / 64.80 = 9.07%, señal de una cartera razonablemente grande pero con cola relevante.
Prima comercial. Carga de seguridad del 20% de la desviación: 0.20 × 5.876 = 1.175 MDP. Prima cargada antes de gastos y utilidad = 64.80 + 1.175 = 65.975 MDP. Con 22% de gastos y 8% de utilidad sobre prima: 65.975 / (1 − 0.22 − 0.08) = 65.975 / 0.70 = 94.25 MDP, es decir 31,417 pesos por póliza.
Comentario de juicio. La carga del 20% de sigma equivale a un margen de 1.8% sobre la prima pura: es agresiva para una severidad con CV de 1.4, porque el capital económico necesario (que se calcula abajo) es de 15.66 MDP, no de 1.18 MDP. La carga de seguridad cubre volatilidad, no solvencia; conviene separar ambas cosas en la nota técnica y no presentar el 20% de sigma como si fuera una medida de capital.
2. Evalúa el stop-loss 75.0 MDP xs 75.0 MDP (cobertura 20.0 MDP) con la aproximación normal. ¿Se justifica la prima de 0.55 MDP y qué harías antes de decidir?
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Punto de adjunción. z = (75.0 − 64.80) / 5.876 = 1.735. Probabilidad de que la capa pague: 1 − Phi(1.735) ≈ 4.1%, es decir, un evento con periodo de retorno aproximado de 24 años.
Costo esperado de la capa (fórmula de la esperanza truncada para una normal): E[(S − a)+] = sigma·phi(z) + (mu − a)·(1 − Phi(z)) = 5.876 × 0.0873 + (64.80 − 75.0) × 0.0414 = 0.513 − 0.422 = 0.091 MDP. La cola superior de la capa (por encima de 95.0 MDP) aporta menos de 0.001 MDP con esta aproximación, así que el costo esperado es prácticamente 0.09 MDP.
Lectura ingenua. Prima 0.55 contra pérdida esperada 0.09: seis veces la pérdida esperada, ROL de 2.75% del límite. Con esa óptica la capa estaría carísima.
Por qué la lectura ingenua es peligrosa. z = 1.74 ya está en el borde de validez de la normal, y la severidad tiene CV de 1.4: el agregado real es fuertemente asimétrico por la derecha. La normal subestima el percentil 95 y, sobre todo, la masa entre 75 y 95 MDP. Además el reasegurador inmoviliza 20 MDP de capital por un evento de periodo de retorno 24 años, y su costo de capital justifica ROL muy superiores a la pérdida esperada en capas remotas. Un ROL de 2.75% del límite no es escandaloso para una capa que adjunta en el percentil 96.
Qué hacer antes de decidir. Simular al menos 100,000 años del compuesto Poisson-lognormal (o ajustar una gamma trasladada a media y varianza) y obtener: costo esperado de la capa, probabilidad de agotamiento y TVaR del neto. Si la pérdida esperada simulada cae por debajo de 0.25 MDP, la cotización es cara y conviene negociar o bajar el límite; si ronda 0.5 a 1.0 MDP, la cotización es razonable. Decidir con la normal es decidir con el modelo equivocado en el único lugar donde importa.
3. Calcula el TVaR al 99% bajo normal y explica cómo cambia la conclusión al reconocer la asimetría y el efecto del stop-loss.
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Cálculo. Para una normal, TVaR_99 = mu + sigma · phi(z_0.99) / 0.01, con z = 2.326 y phi = 0.02665: TVaR_99 = 64.80 + 5.876 × 2.665 = 64.80 + 15.66 = 80.46 MDP. Capital económico = TVaR − E[S] = 15.66 MDP, esto es, 24% de la pérdida esperada y 2.7 veces la carga de seguridad usada en tarifa. Ya aquí se ve que la carga del 20% de sigma no es una medida de solvencia.
Efecto del stop-loss. El TVaR bruto de 80.46 cae dentro de la capa 75–95. El neto no es simplemente 80.46 − 5.46, porque el TVaR promedia todos los escenarios por encima del percentil 99 y no un punto. Debe calcularse como E[S | S > q99] − E[recuperación | S > q99] sobre la distribución simulada. Con la normal, la recuperación condicional media es pequeña (la capa casi no se activa por encima del percentil 99), de modo que el stop-loss reduce poco el capital económico; con la distribución simulada, la reducción puede ser sustancial.
Advertencia sobre la asimetría. Con severidad lognormal de CV 1.4, el agregado tiene cola más pesada que la normal. La consecuencia práctica es que el TVaR normal subestima el requerimiento: el percentil 99.5 y el TVaR reales pueden ser 10% a 25% mayores. Antes de reportar el 80.46 MDP al comité, hay que sustituirlo por el TVaR simulado y revelar la diferencia entre ambos métodos, junto con el error de simulación. Reportar un capital basado en una normal cuando la severidad es lognormal es un error de modelo, no un detalle de presentación.