Matemáticas actuariales y teoría del riesgo
El examen verifica manejo de distribuciones, medidas de riesgo, principios de prima y teoría de la ruina, no demostraciones formales. Se espera que traduzcas supuestos en primas y capital.
Modelo colectivo
S es la suma de N siniestros, con N ~ Poisson(λ) y severidades iid X. Entonces E[S]=λE[X] y Var(S)=λE[X²]=λ(Var X + E[X]²). La varianza depende del segundo momento, no solo de la varianza de X. La agregación exacta usa Panjer o simulación; la normal es solo una aproximación.
Medidas y primas
VaR_α es el cuantil; TVaR_α es la media condicional sobre VaR y es coherente. VaR no es subaditivo. Principios de prima: valor esperado, varianza, desviación estándar, exponencial y Esscher. La prima de riesgo no es la prima comercial; los recargos cubren gastos, capital y utilidad.
Credibilidad
Bühlmann: prima = Z·media observada + (1−Z)·media colectiva, con Z=n/(n+k) y k=E[σ²]/Var(μ).
Ejemplo: λ=3, E[X]=50, Var(X)=2500. E[S]=150. E[X²]=2500+2500=5000. Var(S)=3×5000=15000; SD≈122.5. Con aproximación normal, TVaR al 99% ≈ 150 + 122.5×φ(2.326)/0.01 = 150+327 ≈ 477. Razón: φ(2.326)≈0.0267.
En ruina, el coeficiente de ajuste R de Lundberg da una cota exponencial para la probabilidad de ruina.
Trampas
Usar Var(S)=λVar(X); aplicar normal con colas pesadas; suponer que VaR cumple subaditividad; confundir TVaR con el cuantil.