Modelo de pérdida agregada para incendio comercial con concentración no modelada
Una aseguradora de daños modela la pérdida agregada anual de una cartera de 2,500 pólizas comerciales de incendio. Asume frecuencia Poisson con λ = 0.10 por póliza-año, independiente entre pólizas, y severidad lognormal con μ = 13.5 y σ = 1.0 (pesos). Aplica un deducible de 250,000 pesos por siniestro y un límite de 15 millones por póliza. El reaseguro es exceso de pérdida por 10 millones xs 5 millones, con una reinstalación. La simulación de 10,000 escenarios arroja una pérdida agregada esperada de 280 millones y un VaR al 99.5% de 780 millones; el TVaR es 1,050 millones. El modelo no incorpora dependencia por concentración geográfica: 40 pólizas están en un mismo parque industrial. Tampoco incluye incertidumbre de parámetros. La dirección quiere usar el VaR de 780 millones como base para el capital económico y para comprar reaseguro.
1. Verifique la plausibilidad de la pérdida esperada simulada de 280 millones mediante un cálculo analítico aproximado. Explique cualquier diferencia.
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Frecuencia esperada = 2,500 × 0.10 = 250 siniestros. Severidad lognormal: E[X] = exp(13.5 + 0.5 × 1.0²) = exp(14.0) ≈ 1.203 millones. Sin deducible ni límite: 250 × 1.203 ≈ 300.8 millones.
Deducible de 0.25 millones: E[(X-d)+] = E[X]Φ((μ+σ²-ln d)/σ) - dΦ((μ-ln d)/σ). ln d = 12.429; (14.5 - 12.429) = 2.071; Φ = 0.9808; (13.5 - 12.429) = 1.071; Φ = 0.858. Resultado ≈ 1.203 × 0.9808 - 0.25 × 0.858 = 1.180 - 0.215 = 0.965 millones.
Límite de 15 millones: E[(X-15)+] ≈ 0.007 millones; la severidad esperada neta queda ≈ 0.958 millones. Pérdida agregada ≈ 250 × 0.958 = 239.5 millones.
Los 280 millones son 17% mayores. Pueden explicarse por gastos de ajuste, inflación de severidad o por no aplicar correctamente deducible y límite. Antes de usar el 280 hay que reconciliar el modelo: separar pérdida bruta, gastos, recuperaciones de reaseguro y reinstalaciones.
2. Evalúe el VaR 99.5% de 780 millones y el TVaR de 1,050 millones. ¿Qué métrica usaría para capital económico y por qué?
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El VaR al 99.5% es un cuantil: no dice nada sobre la magnitud de las pérdidas que quedan por encima. Con 10,000 simulaciones, el VaR se estima con aproximadamente 50 escenarios, por lo que tiene error de muestreo relevante. El TVaR de 1,050 millones sí resume la cola y es una medida coherente: penaliza escenarios extremos y es más apropiada para capital económico y para decidir la compra de reaseguro.
Además, el TVaR debe acompañarse de incertidumbre de parámetros. Con 250 siniestros esperados, λ y σ no son conocidos; conviene hacer bootstrap o simulación bayesiana y reportar un rango. También debe compararse el TVaR con la capacidad de reaseguro y con el apetito de riesgo. Usar solo 780 millones subestimaría el capital necesario para soportar eventos severos.
3. La concentración de 40 pólizas en un parque industrial no está modelada. Cuantifique el escenario de un incendio que afecta a las 40 pólizas y recomiende una acción de reaseguro.
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Exposición bruta máxima = 40 × 15 millones = 600 millones, suponiendo que cada póliza agota su límite.
El resultado neto depende de la cláusula del tratado:
- Si el exceso de pérdida es por riesgo y cada póliza es un riesgo separado, la cedido sería 40 × 10 = 400 millones y la retención 40 × 5 = 200 millones.
- Si el tratado es por evento, solo se recuperan 10 millones una vez y la retención sería 590 millones.
Esa diferencia es crítica. Debe revisarse la definición de “riesgo” y “evento”, modelar dependencia con un choque común o cópula, y comprar cobertura por evento o un stop-loss agregado para el parque. También conviene limitar la acumulación por ubicación, usar coaseguro o facultativo, y probar un escenario de incendio extendido en el comité de riesgos.