El huerto escolar y la malla que no alcanza
En una escuela preparatoria, el comité estudiantil quiere cercar un huerto rectangular de 400 m² como mínimo. Dispone de 60 m de malla y aprovechará una pared del gimnasio como uno de los lados, de modo que solo debe cercar tres lados: dos anchos iguales y un largo. El reglamento de seguridad obliga a dejar un pasillo de 1.5 m junto a la pared, por lo que el ancho no puede superar 12 m; además, el ancho debe ser al menos 8 m para que quepa la puerta de servicio. La malla se corta en tramos completos de 1 m. En la junta, una alumna afirma: «Para maximizar el área con 60 m de malla, el largo debe ser el doble del ancho; por tanto, debemos usar 15 m de ancho y 30 m de largo». El tesorero recuerda que el presupuesto solo alcanza para 60 m y que no se puede comprar malla adicional. El profesor pide decidir las dimensiones y justificar si la afirmación de la alumna es aplicable.
1. Determina el intervalo de anchos que cumple todas las restricciones y explica por qué el límite inferior no es 8 m.
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Con 60 m de malla y la pared como cuarto lado, la relación es 2x + y = 60, donde x es el ancho e y el largo; por tanto, y = 60 − 2x. El área es A(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
La condición A ≥ 400 conduce a 60x − 2x² ≥ 400, es decir, x² − 30x + 200 ≤ 0. Al factorizar, (x − 10)(x − 20) ≤ 0, lo que exige 10 ≤ x ≤ 20. El pasillo impone x ≤ 12 y la puerta x ≥ 8. La intersección es 10 ≤ x ≤ 12.
El límite inferior no es 8 m porque con x = 8 el largo sería 60 − 16 = 44 m y el área 352 m², menor que los 400 m² exigidos. Aunque 8 m cumple la regla de la puerta, no cumple la meta de área; por eso el intervalo útil empieza en 10 m. También debe comprobarse que y sea positivo: con x ≤ 12, y ≥ 36, así que se cumple.
2. Evalúa la afirmación de la alumna: ¿es aplicable la regla del largo doble del ancho? ¿Cuáles son las dimensiones que maximizan el área dentro de las restricciones?
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La afirmación contiene una regla válida solo sin restricciones. Sin el pasillo, A(x) = 60x − 2x² es una parábola con vértice en x = −b/(2a) = 60/4 = 15; allí y = 30 y el área es 450 m², el máximo global. Eso explica la proporción 2:1.
Pero x = 15 viola x ≤ 12. En el intervalo factible [10, 12], la parábola es creciente porque el vértice está a la derecha; el máximo se alcanza en x = 12. Entonces y = 60 − 24 = 36 y A = 12 × 36 = 432 m². Las dimensiones viables son 12 m de ancho y 36 m de largo; la proporción es 3:1, no 2:1.
Por tanto, la alumna confunde el óptimo matemático sin restricciones con el óptimo del problema real. Aplicar el 2:1 daría un huerto que no cabe en el pasillo. La decisión correcta es 12 × 36 si se busca el área máxima permitida, o cualquier ancho entre 10 y 12 m si se prioriza otra cosa.
3. El comité propone pedir una excepción al pasillo para usar 15 m de ancho. ¿Cuánta área ganaría y qué debe verificar antes de solicitarla?
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Área actual máxima: 432 m². Con x = 15, A = 450 m². La ganancia es 18 m², es decir, 18/432 ≈ 4.2 %. Es una mejora real pero pequeña.
Antes de solicitar la excepción deben verificarse tres cosas: (1) que la pared tenga al menos 30 m disponibles, pues el largo sería 30 m; (2) que la excepción al pasillo de 1.5 m no comprometa una ruta de evacuación o el acceso de mantenimiento, que es la razón probable de la norma; (3) que exista un procedimiento formal para pedir la excepción y que se sepa quién la autoriza.
Juicio: no conviene arriesgar seguridad y tiempo administrativo por 18 m². Si el pasillo es indispensable, la solución 12 × 36 ya supera los 400 m². Si se pide la excepción, debe presentarse como mejora condicionada a la revisión de seguridad, no como un derecho derivado del cálculo.