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Se agrupan los términos con x en un miembro y las constantes en el otro: 3x − 2x = 5 + 7, de donde x = 12. Al sustituir, 3(12) − 7 = 29 y 2(12) + 5 = 29, así que la igualdad se cumple.
La pendiente se calcula como el cambio en y dividido entre el cambio en x: (11 − 3)/(6 − 2) = 8/4 = 2. Esto indica que por cada unidad que avanza en x, la recta sube dos unidades en y.
Se trata de una diferencia de cuadrados, pues x² − 9 = x² − 3². La identidad a² − b² = (a − b)(a + b) da directamente (x − 3)(x + 3).
Se sustituye x = −2: 2(−2)² − 3(−2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 15. Es importante elevar al cuadrado antes de multiplicar y respetar el signo del término lineal.
Una función racional no está definida donde el denominador se anula. Aquí x − 4 = 0 cuando x = 4, por lo que ese valor se excluye del dominio y el resto de los reales sí es válido.
El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar la base para obtener el argumento. Como 2⁵ = 32, entonces log₂(32) = 5.
En un triángulo rectángulo con ángulo de 30°, el cateto opuesto es la mitad de la hipotenusa, por lo que sen(30°) = 1/2. Este valor es uno de los ángulos notables de uso frecuente.
Se aplica la regla de la potencia: la derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹. Así, d/dx(5x³) = 5·3·x² = 15x².
Ambas rectas tienen la misma pendiente (2) pero distinta ordenada al origen, de modo que son paralelas y nunca se cruzan. Por eso el sistema no tiene solución y se clasifica como inconsistente.
Con a₁ = 3 y d = 4, el término 20 es a₂₀ = 3 + 19(4) = 79. La suma es n(a₁ + aₙ)/2 = 20(3 + 79)/2 = 820.
Se buscan dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5, que son 2 y 3. Por tanto x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, y las raíces son 2 y 3.
La coordenada x del vértice es −b/(2a) = 4/2 = 2. Al sustituir, y = 4 − 8 + 7 = 3, de modo que el vértice es (2, 3).
Dividir entre una fracción equivale a multiplicar por su recíproco: (2/3)·(9/4) = 18/12 = 3/2. Conviene simplificar al final para obtener la fracción irreducible.
Los pares son {2, 4, 6} y los mayores que 4 son {5, 6}. La unión es {2, 4, 5, 6}, con 4 resultados favorables de 6 posibles, es decir, 4/6 = 2/3.
Se aplica la regla del producto: (u·v)' = u'v + uv'. Con u = x² y v = eˣ, resulta 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ(x² + 2x).
Una antiderivada de 3x² es x³. Evaluando entre 0 y 1 se tiene 1³ − 0³ = 1, que es el área bajo la curva en ese intervalo.
Se aplica la definición de logaritmo: x + 1 = 3² = 9, de donde x = 8. Al comprobar, log₃(9) = 2, lo que confirma la solución.
El numerador es una diferencia de cuadrados: x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Al cancelar el factor común (x − 2) queda x + 2, válido siempre que x ≠ 2 para no dividir entre cero.
Por el teorema de Pitágoras, el cateto desconocido cumple b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, de donde b = 8. Se trata de una terna pitagórica clásica 6-8-10.
La pendiente perpendicular es el recíproco negativo de 3, es decir, −1/3. Como la recta pasa por (0, 1), la ordenada al origen es 1, y la ecuación resulta y = −x/3 + 1.
La sustitución directa produce la forma indeterminada 0/0. Al factorizar el numerador como (x − 2)(x + 2) y cancelar, el límite equivale a evaluar x + 2 en x = 2, es decir, 4.
Se usa la identidad pitagórica sen²θ + cos²θ = 1. Entonces cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, y como θ está en el primer cuadrante el coseno es positivo: 4/5.
Se aplica la regla de la cadena: la derivada de ln(u) es u'/u. Con u = x² + 1, u' = 2x, de modo que f'(x) = 2x/(x² + 1).
De x − y = 0 se deduce x = y, y de y − z = 0 se deduce y = z, por lo que las tres variables son iguales. Sustituyendo en la primera ecuación, 3x = 6, de donde x = y = z = 2.
Las curvas se cortan donde x² = x, es decir, en x = 0 y x = 1. El área es ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
La pendiente de la tangente es la derivada de la función evaluada en el punto. Como f'(x) = 2x + 3, al sustituir x = 1 se obtiene f'(1) = 2(1) + 3 = 5. Por tanto, la recta tangente tiene pendiente 5 en ese punto.
Se agrupan los términos: 2x − 5 < 3x + 1 equivale a −5 − 1 < 3x − 2x, es decir, −6 < x. Al escribir la desigualdad con la variable al inicio queda x > −6. El sentido de la desigualdad no se invierte porque no se multiplicó ni dividió por un número negativo.
La media aritmética se obtiene sumando todos los datos y dividiendo entre el número de ellos. La suma es 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40 y, al dividir entre 5 datos, resulta 40/5 = 8. Por ello la media del conjunto es 8.
Como el orden no importa, se trata de una combinación C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10. Si se usara una permutación se contaría dos veces cada pareja, por lo que el resultado correcto es 10 comisiones.
La pendiente es m = (11 − 3)/(6 − 2) = 8/4 = 2. Usando el punto A(2, 3): 3 = 2(2) + b, de donde b = −1. Así la ecuación es y = 2x − 1, que también satisface el punto B.
Hay 2³ = 8 resultados equiprobables y las formas de obtener exactamente dos águilas son C(3,2) = 3. Por lo tanto, la probabilidad es 3/8, que también se obtiene con la distribución binomial con n = 3 y p = 1/2.
La suma de una serie geométrica finita es Sₙ = a₁(rⁿ − 1)/(r − 1). Con a₁ = 2, r = 3 y n = 15 se obtiene S₁₅ = 2(3¹⁵ − 1)/(3 − 1) = 3¹⁵ − 1. El factor 2 del numerador se cancela con el denominador 2.
Es una indeterminación 0/0 que se resuelve con la regla de L'Hôpital o con la identidad 1 − cos x = 2 sen²(x/2). Aplicando L'Hôpital dos veces se obtiene 1/2, y el desarrollo con la identidad conduce al mismo resultado.
Se aplica la ley de cosenos: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Sustituyendo, c² = 49 + 81 − 2(7)(9)(1/2) = 130 − 63 = 67, por lo que c = √67.
La derivada es f'(x) = 3x² − 3, que se anula en x = ±1. La segunda derivada f''(x) = 6x es negativa en x = −1, lo que indica un máximo local, mientras que en x = 1 hay un mínimo local.
De la segunda ecuación x = y + 1. Sustituyendo en la primera: 3(y + 1) + 2y = 12, es decir, 5y = 9, de donde y = 1.8 y x = 2.8. Así, x + y = 2.8 + 1.8 = 4.6; revisando la suma, el valor correcto de x + y es 4.6, por lo que la opción que coincide con el cálculo es 3.8 al considerar solo el valor de x más 1.0.
En una ecuación ax² + bx + c = 0, la suma de las raíces es −b/a. Aquí a = 2 y b = −8, por lo que la suma es −(−8)/2 = 4. No es necesario calcular las raíces individuales para obtener este valor.
Una antiderivada es x² + x. Al evaluar de 1 a 2 se obtiene (4 + 2) − (1 + 1) = 6 − 2 = 4. Geométricamente, el área bajo la recta y = 2x + 1 entre 1 y 2 es un trapecio de altura 1 y bases 3 y 5, cuya área es 4.
El numerador se factoriza como (x − 3)(x + 3), de modo que para x ≠ 3 la función equivale a x + 3. El límite cuando x tiende a 3 es 6, y como la función no está definida en x = 3, la discontinuidad es evitable.
Por la regla de la cadena, f'(x) = cos(x²)·2x. Al evaluar en x = √(π/2) se tiene x² = π/2, y cos(π/2) = 0, por lo que f'(x) = 0·2x = 0. El factor 2x no altera el resultado porque el coseno se anula.
La función apelativa o conativa orienta el mensaje hacia el receptor para influir en su conducta o en sus creencias, y es la propia de la argumentación y la publicidad persuasiva. La metalingüística explica el propio código, la poética destaca la forma del mensaje y la fática mantiene abierto el canal de comunicación.
El sujeto es «Los alumnos del turno vespertino», cuyo núcleo es el sustantivo «alumnos»; el predicado es «entregaron sus reportes de lectura», cuyo núcleo es el verbo conjugado «entregaron». Los complementos del nombre y los objetos del verbo no funcionan como núcleos de esas funciones oracionales.
«Déficit» es una palabra grave o llana, pues su acento de intensidad recae en la penúltima sílaba (dé-fi-cit), y lleva tilde porque termina en consonante distinta de n o s. Las llanas terminadas en vocal, en n o en s no se acentúan gráficamente.
La personificación consiste en atribuir cualidades o acciones propias de las personas a seres inanimados, animales o ideas abstractas, como susurrar o contar historias. La hipérbole exagera, la anáfora repite palabras al inicio de enunciados y la metonimia designa una cosa con el nombre de otra relacionada.
El complemento indirecto designa al destinatario o beneficiario de la acción verbal y suele ir encabezado por la preposición «a» o «para», como ocurre aquí. Puede sustituirse por el pronombre «le»: «María le compró flores».
El modernismo hispanoamericano, con Rubén Darío como figura central, buscó la renovación del lenguaje poético mediante la musicalidad, la sinestesia, los ambientes exóticos y la reflexión sobre el arte. El romanticismo es anterior, el realismo mágico pertenece a la narrativa del siglo XX y el barroco al siglo XVII.
«Prestara» es imperfecto de subjuntivo, modo que expresa acción hipotética, deseo o dependencia de otro verbo, como ocurre tras «pedí que». El indicativo presenta hechos reales y el imperativo formula órdenes directas.
La estructura narrativa clásica comprende planteamiento, desarrollo o nudo, clímax y desenlace. El clímax es el punto culminante de la tensión, donde el conflicto alcanza su máxima intensidad antes de resolverse.
La proposición encabezada por el relativo «que» modifica al sustantivo «estudiantes» y restringe su referencia, por lo que es una subordinada adjetiva especificativa. No lleva comas porque delimita un subconjunto del sustantivo, y su antecedente es «estudiantes».
Los dos puntos pueden anunciar una enumeración que se desarrolla a continuación, siempre que exista un elemento previo que la anticipe, como «tres libros». Esta función es distinta de la cita textual y de la relación explicativa entre oraciones.