Remmen op een natte dijkweg
Lisa fietst 's ochtends naar school over een natte dijkweg. Op haar fietssnelheidsmeter staat 18 km/h. Ze is alert, maar haar reactietijd is 0,8 s. Op het natte asfalt is de maximale remvertraging van haar fiets 2,5 m/s²; op droog asfalt zou dat 5,0 m/s² zijn. Plots ziet ze op 12 m voor zich een groep voetgangers de weg oversteken. Lisa remt met de maximale vertraging die het natte wegdek toelaat. Samen met de fiets weegt Lisa 75 kg. Aan de velgremmen mankeert niets. Haar vriendin Noor zegt: 'Als je twee keer zo hard had gereden, was je remweg ook twee keer zo lang.' In de les natuurkunde hebben ze geleerd zo'n bewering met een berekening te controleren in plaats van te gokken. Lisa wil weten of ze op tijd stilstaat en of 18 km/h op een natte dijkweg eigenlijk wel verantwoord is.
1. Bereken of Lisa op tijd tot stilstand komt. Bereken de reactieafstand en de remweg apart en trek daarna de conclusie.
Read the worked answer
Eerst omrekenen: v = 18 / 3,6 = 5,0 m/s.
Reactieafstand: in de reactietijd rijdt Lisa nog met constante snelheid door: s = v · t = 5,0 × 0,8 = 4,0 m.
Remweg: bij constante vertraging geldt s = v² / (2·a) = (5,0)² / (2 × 2,5) = 25 / 5,0 = 5,0 m. (Dit is ook uit een (v,t)-diagram af te lezen: de oppervlakte onder de lijn is ½ · 5,0 · 2,0 = 5,0 m.)
Samen: 4,0 + 5,0 = 9,0 m. Dat is minder dan de 12 m tot de voetgangers, dus Lisa staat op tijd stil. Ze houdt zelfs 3,0 m over. De conclusie volgt dus niet uit de losse getallen maar uit de optelsom van beide afstanden: wie alleen de remweg berekent, mist 4,0 m.
2. Controleer met een berekening de bewering van Noor dat een twee keer zo grote snelheid een twee keer zo lange remweg geeft.
Read the worked answer
Neem dezelfde vertraging 2,5 m/s² en vergelijk 5,0 m/s met 10 m/s.
Bij 5,0 m/s: s = (5,0)² / 5,0 = 5,0 m. Bij 10 m/s: s = (10)² / 5,0 = 100 / 5,0 = 20 m.
De remweg wordt dus 4 keer zo groot, niet 2 keer. Dat komt doordat de snelheid in de formule gekwadrateerd staat: de remweg is de oppervlakte onder het (v,t)-diagram en bij verdubbeling van v worden zowel de hoogte als de duur van het remmen twee keer zo groot.
Alleen de reactieafstand verdubbelt wel: die wordt 8,0 m in plaats van 4,0 m. De totale afstand wordt 28 m in plaats van 9,0 m. Noors bewering is dus onjuist, en ze onderschat het gevaar flink.
3. Bereken de grootste snelheid waarbij Lisa op het natte wegdek nog net binnen 12 m tot stilstand komt.
Read the worked answer
De 12 m moet worden verdeeld over reactieafstand en remweg:
12 = v · 0,8 + v² / (2 × 2,5) 12 = 0,8·v + v² / 5,0
Vermenigvuldig met 5,0: 60 = 4,0·v + v², dus v² + 4,0·v − 60 = 0.
Met de abc-formule: v = (−4,0 + √(16 + 240)) / 2 = (−4,0 + 16) / 2 = 6,0 m/s.
Dat is 6,0 × 3,6 = 21,6 km/h, dus ruim 21 km/h. Let op dat je de oplossing die uit de vergelijking komt controleren: 0,8 × 6,0 = 4,8 m reactieafstand plus 36 / 5,0 = 7,2 m remweg is samen precies 12 m. Lisa reed 18 km/h en zit dus onder deze grens, maar de marge is klein.