Sponsorloop: spreadsheetformule en domein
Op het Mendelcollege organiseert klas 5v een sponsorloop. De opbrengst O in euro wordt gemodelleerd met O(a) = 12a − 0,15a², waarbij a het aantal deelnemers is. De organisatie verwacht tussen 20 en 80 deelnemers. Een leerling zet in een spreadsheet in cel B2 het aantal deelnemers en in B3 de formule =12B2-0,15B2^2. Daarna wordt de formule naar beneden gekopieerd voor een tabel met a = 20, 21, ..., 80. Bij a = 20 vindt de spreadsheet 180 euro. De leerling wil ook de maximale opbrengst bepalen en vraagt zich af of de formule bij 90 deelnemers nog betrouwbaar is. De docent wijst erop dat de formule alleen is afgeleid uit enquêtes onder 20 tot 80 deelnemers en dat bij meer deelnemers de vaste kosten anders worden. In de klas ontstaat discussie of je de top van de grafiek met de spreadsheet of met differentiëren moet bepalen.
1. Bereken met differentiëren bij welk aantal deelnemers de opbrengst volgens dit model maximaal is. Laat zien dat dit maximum binnen het domein ligt en bereken de maximale opbrengst.
Read the worked answer
De afgeleide is O'(a) = 12 − 0,30a. Stel O'(a)=0: 12 − 0,30a = 0, dus a = 40. Dit ligt in het domein [20, 80]. O(40) = 12·40 − 0,15·40² = 480 − 240 = 240 euro. Controle van de rand: O(20)=180 euro en O(80)=0 euro. Het model geeft dus een maximum van 240 euro bij 40 deelnemers. Omdat de grafiek een bergparabool is, is dit ook echt het maximum op het domein.
2. De leerling kopieert de formule in B3 naar B4. Leg uit of de verwijzing naar B2 dan nog correct is en wat er in B4 komt te staan als B4 hoort bij a=21.
Read the worked answer
Bij kopiëren verandert een relatieve verwijzing. In B4 komt de formule =12B3-0,15B3^2 te staan. B3 bevat niet het nieuwe aantal deelnemers, maar de uitkomst 180 uit B3. Invullen geeft 12·180 − 0,15·180² = 2160 − 4860 = −2700, onzin. De leerling moet de invoer per rij in een eigen kolom zetten, bijvoorbeeld a in A2 en de formule =12A2-0,15A2^2 in B2, en die formule naar beneden kopiëren. Een absolute verwijzing naar één vaste cel is hier niet genoeg, omdat er 61 verschillende a-waarden zijn.
3. Beoordeel of het verantwoord is om met deze formule de opbrengst bij 90 deelnemers te voorspellen. Betrek in je antwoord het domein en de betekenis van de formule.
Read the worked answer
Nee, dat is extrapolatie. De formule is afgeleid uit gegevens voor 20 tot 80 deelnemers. Bij 90 deelnemers zegt het model bijvoorbeeld O(90)=1080−1215=−135 euro, een negatieve opbrengst. Dat is niet geloofwaardig: bij meer deelnemers kunnen vaste kosten en sponsorafspraken veranderen, en het kwadratische verband is buiten het meetbereik niet gevalideerd. Je mag hooguit zeggen dat het model binnen 20–80 bruikbaar is; voor 90 deelnemers zijn nieuwe gegevens nodig.