Smartphone-enquête: mediaan, gemiddelde en simulatie
Een schoolkrant onderzoekt het smartphonegebruik van leerlingen. De enquête wordt alleen via een Instagram-post van de schoolkrant verspreid. In totaal reageren 80 leerlingen. Het gemiddelde gebruik is 4,2 uur per dag; de mediaan is 3,5 uur. De 40e en 41e waarneming zijn beide 3,5 uur. Eén leerling meldt 14 uur, de rest zit tussen 1 en 8 uur. De som van alle 80 waarnemingen is 336 uur. De redactie schrijft: ‘Gemiddeld besteedt een leerling meer dan 4 uur per dag aan de smartphone.’ Een docent wiskunde plaatst vraagtekens bij de representativiteit en bij de invloed van de uitschieter. Een leerling simuleert 500 steekproeven van 80 leerlingen, waarbij hij aanneemt dat de kans op meer dan 5 uur gebruik 0,20 is. In 112 van de 500 gesimuleerde steekproeven zitten minstens 19 leerlingen met meer dan 5 uur. In de echte steekproef zijn dat er 19.
1. Bereken het gemiddelde en de mediaan als de leerling met 14 uur niet was meegerekend. Leg uit welk centrummaat het meest geschikt is om de ‘typische’ leerling te beschrijven.
Read the worked answer
Zonder de uitschieter is de som 336 − 14 = 322 uur bij 79 leerlingen. Het nieuwe gemiddelde is 322/79 ≈ 4,08 uur. De mediaan verandert niet: bij 79 waarnemingen is de mediaan de 40e waarde. Omdat de verwijderde waarde de hoogste was, blijft de 40e waarde 3,5 uur (gegeven was dat de 40e en 41e beide 3,5 zijn). De mediaan is hier geschikter om de ‘typische’ leerling te beschrijven, omdat hij minder gevoelig is voor de uitschieter van 14 uur; het gemiddelde wordt door die ene leerling omhooggetrokken.
2. De leerling concludeert uit de simulatie dat de bewering ‘meer dan 20% van alle leerlingen gebruikt meer dan 5 uur’ niet verworpen kan worden. Laat met een berekening zien of deze conclusie klopt bij een significantieniveau van 5%.
Read the worked answer
De simulatie geeft een schatting van de p-waarde: 112/500 = 0,224. Dat is de kans om in een steekproef van 80 minstens 19 leerlingen met meer dan 5 uur te vinden, als de echte kans 0,20 is. De waargenomen waarde is 19/80 = 0,2375. Bij een significantieniveau van 5% is 0,224 veel groter dan 0,05. Er is dus geen overtuigend bewijs tegen de bewering dat de kans 0,20 is; je verwerpt de bewering niet. De conclusie van de leerling klopt in die zin, maar let op: de simulatie bewijst niet dat 20% precies waar is.
3. Noem twee manieren waarop de redactie de representativiteit kan verbeteren en leg per manier uit waarom dat helpt.
Read the worked answer
Bijvoorbeeld: (1) trek een aselecte steekproef uit de volledige leerlingenlijst in plaats van via Instagram, zodat ook leerlingen zonder Instagram een kans maken; (2) maak de enquête anoniem en vraag niet naar namen, zodat leerlingen eerlijker antwoorden over hun gebruik; (3) vergroot de steekproef, waardoor toevallige uitschieters minder invloed hebben. Elke maatregel vermindert een andere vorm van vertekening: selectie via Instagram, sociaal wenselijke antwoorden of toevalsfouten.