Pizzeria: marginale kosten en modelgrenzen
Een pizzeria wil de kosten per dag modelleren. Voor het aantal pizza’s q (tussen 10 en 80) geldt voor de totale kosten K in euro: K(q) = 0,004q³ − 0,24q² + 6q + 80. De eigenaar betaalt daarnaast vaste huur van 80 euro; die zit al in de formule. De gemiddelde kosten per pizza zijn G(q) = K(q)/q. De eigenaar overweegt de prijs te verlagen om meer pizza’s te verkopen. Hij vraagt zich af wat de extra kosten zijn van de 21e pizza en of de kosten per pizza blijven dalen als hij meer gaat bakken. Een medewerker zegt: ‘De marginale kosten zijn hetzelfde als de gemiddelde kosten, want beide gaan over één pizza.’ De eigenaar wil ook weten of hij de formule voor 100 pizza’s mag gebruiken.
1. Bereken met de afgeleide de marginale kosten bij q=20 en leg uit wat dit getal betekent. Vergelijk dit met het werkelijke kostenverschil tussen q=20 en q=21.
Read the worked answer
K'(q)=0,012q² − 0,48q + 6. Bij q=20: K'(20)=0,012·400 − 0,48·20 + 6 = 4,8 − 9,6 + 6 = 1,20 euro per pizza. Dit betekent: rond 20 pizza’s per dag kosten één extra pizza ongeveer €1,20 extra. Het werkelijke verschil is K(21)−K(20)=137,204−136=1,204 euro. De afgeleide geeft dus een goede benadering; het kleine verschil komt doordat de kosten niet precies lineair verlopen.
2. Bereken of beredeneer met K en K' bij welke q de gemiddelde kosten minimaal zijn. Rond af op een geheel aantal pizza’s.
Read the worked answer
Voor de gemiddelde kosten geldt G(q)=K(q)/q. Differentiëren geeft G'(q)=(qK'(q)−K(q))/q². De gemiddelde kosten zijn minimaal als qK'(q)−K(q)=0. Invullen: q(0,012q²−0,48q+6) − (0,004q³−0,24q²+6q+80)=0, dus 0,008q³−0,24q²−80=0. Met een grafische rekenmachine of spreadsheet vind je q≈37,2. Afgerond op een geheel aantal pizza’s is dat q=37. Controle: G(37)≈4,76 en G(38)≈4,76; het minimum ligt inderdaad rond 37. Zolang de marginale kosten lager zijn dan de gemiddelde kosten, blijven de gemiddelde kosten dalen.
3. De eigenaar wil de formule gebruiken voor q=100. Beoordeel dit met het domein en met de waarde van K(100).
Read the worked answer
Het domein is 10–80 pizza’s; q=100 ligt daarbuiten. Invullen geeft K(100)=0,004·1.000.000 − 0,24·10.000 + 600 + 80 = 4000 − 2400 + 680 = 2280 euro. Dat is meer dan het dubbele van K(80)=1072 euro. De derdegraads term gaat bij grote q sterk domineren, terwijl hij buiten het meetbereik niet is gevalideerd. Het is dus niet verantwoord om zonder nieuwe gegevens met de formule voor 100 pizza’s te rekenen.