Rad van fortuin: eerlijke prijs en voorwaardelijke kans
Op de open dag van een school staat een rad van fortuin. Het rad heeft 24 even grote sectoren: 1 sector geeft €10, 3 sectoren geven €2, 8 sectoren geven €0,50 en de overige 12 sectoren geven niets. Een lot kost €1. De opbrengst van een lot is het bedrag dat je wint min de €1 die je betaalt. De organisatie wil minimaal €0,20 winst per lot verwachten. Een leerling beweert: ‘Omdat er 12 van de 24 sectoren niets opleveren, is de kans op winst 50%, dus het spel is eerlijk.’ Een andere leerling simuleert 2000 loten met een randomgetallengenerator en vindt een gemiddelde uitbetaling van €0,84 per lot. De organisatie overweegt de prijs van een lot te verhogen naar €1,25.
1. Bereken de verwachte uitbetaling per lot en de verwachte winst per lot bij een lotprijs van €1. Beoordeel de bewering van de eerste leerling.
Read the worked answer
Verwachte uitbetaling = (1·10 + 3·2 + 8·0,50 + 12·0)/24 = (10+6+4)/24 = 20/24 ≈ €0,83. Bij een lotprijs van €1 is de verwachte winst voor de organisatie 1 − 0,83 = €0,17 per lot. De bewering dat het spel eerlijk is omdat 50% niets oplevert, klopt niet: eerlijkheid gaat over de verwachtingswaarde, niet alleen over de kans op niets. Het spel is in het voordeel van de organisatie, maar de winst is iets minder dan de gewenste €0,20.
2. Bereken welke lotprijs minimaal nodig is om gemiddeld €0,20 winst per lot te maken. Leg uit of €1,25 genoeg is.
Read the worked answer
Voor €0,20 winst per lot moet de lotprijs minstens 0,833 + 0,20 = 1,033 euro zijn. Afgerond op hele centen naar boven is dat €1,04. Bij €1,25 is de verwachte winst 1,25 − 0,833 ≈ €0,42 per lot, dus ruim boven de eis. De organisatie kan dus €1,25 vragen, maar moet bedenken dat een hogere prijs het aantal deelnemers kan verlagen.
3. De leerling simuleert 2000 loten en vindt gemiddeld €0,84. Leg uit of dit de berekening tegenspreekt en wat de simulatie wel laat zien.
Read the worked answer
Nee, de simulatie spreekt de berekening niet tegen. De theoretische verwachting is €0,833 per lot; een gesimuleerd gemiddelde van €0,84 over 2000 loten ligt daar dichtbij. Door toeval kan het gemiddelde iets afwijken. De simulatie bevestigt dus juist de berekening en laat zien dat bij veel herhalingen het gemiddelde naar de verwachtingswaarde toe gaat. Met 2000 loten is de afwijking van ongeveer €0,007 heel normaal.