Verbanden en verandering: groei, helling en afgeleide
Deze sectie gaat over verbanden en verandering: grafieken en formules van lineaire, kwadratische, exponentiële en logaritmische verbanden, en het beschrijven van verandering met het differentiequotiënt en de afgeleide.
Verbanden herkennen
- Lineair: constante toename, een rechte lijn, formule y = ax + b.
- Exponentieel: constante groeifactor per stap, formule y = b · g^t. Bij 5% groei is g = 1,05; bij 5% afname is g = 0,95.
- Logaritmisch: formule y = a + b · log(x); los op met 10^ of met de GR.
- Periodiek: herhaalt zich; let op amplitude, periode en evenwichtsstand.
Verandering
- Differentiequotiënt op [a, b]: (f(b) − f(a)) / (b − a), de helling van de koorde.
- Afgeleide f'(x): de helling van de raaklijn in x. f'(x) = 0 geeft mogelijke toppen.
- Toenamediagram: staafjes die de toename per stap laten zien.
Uitgewerkt voorbeeld
Een bedrag van €800 staat op een rekening met 6% rente per jaar. Na hoeveel jaar is het bedrag verdubbeld? Stap 1: 800 · 1,06^t = 1600. Stap 2: 1,06^t = 2. Stap 3: t = log(2) / log(1,06) ≈ 0,3010 / 0,0253 ≈ 11,9. Stap 4: na 12 jaar is het bedrag voor het eerst meer dan verdubbeld; na 11 jaar nog niet. Controle: 800 · 1,06^12 ≈ 1609 euro.
Valkuilen
- Groeipercentages bij elkaar optellen in plaats van groeifactoren vermenigvuldigen.
- Bij "met 3% gedaald" toch g = 1,03 invullen; dat moet 0,97 zijn.
- De tijdseenheid niet gelijk houden: jaren, maanden en dagen door elkaar.
- Vergeten dat de helling een eenheid heeft, bijvoorbeeld euro per jaar.
- De rekenmachine in graden laten staan terwijl je met radialen werkt.