Spiraalanimatie met complexe vermenigvuldiging
Een animatiestudio ontwerpt een spiraalvormige opening voor een documentaire over schimmelgroei. Op het scherm staat een punt P₀ in het complexe vlak bij z = 4, op de positieve reële as. Vervolgens wordt dat punt steeds met dezelfde factor vermenigvuldigd, namelijk met c = 1 + i√3. Zo ontstaat een rij punten P_n = 4·c^n, die met rechte lijnstukken aan elkaar wordt geknoopt tot een zogeheten groeirij. De ontwerper wil drie dingen weten voordat hij de animatie definitief maakt. Ten eerste: na hoeveel stappen komt het punt precies terug op de positieve reële as, zodat daar een markeringsstip kan worden gezet? Ten tweede: hoe lang is de totale lijn waarmee de eerste zes punten worden verbonden, in verhouding tot de afstanden tot de oorsprong? Ten derde: wat gebeurt er als hij halverwege de draairichting omkeert en afwisselend met c en met de geconjugeerde 1 − i√3 vermenigvuldigt? Het renderprogramma rekent met coördinaten die tot op 0,01 nauwkeurig worden weergegeven.
1. Bereken de kleinste n > 0 waarvoor P_n op de positieve reële as ligt. Onderbouw met modulus en argument dat er geen kleinere n bestaat.
Read the worked answer
Modulus en argument van c. Voor c = 1 + i√3 geldt |c| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2 en arg(c) = arctan(√3/1) = π/3, omdat c in het eerste kwadrant ligt.
Doorgeven aan de rij. Bij vermenigvuldigen geldt |z₁z₂| = |z₁|·|z₂| en arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂ (mod 2π). Dus:
|P_n| = 4·2^n en arg(P_n) = n·π/3 (mod 2π).
Voorwaarde voor de positieve reële as. Er moet gelden arg(P_n) ≡ 0 (mod 2π), dus n·π/3 = 2kπ, oftewel n = 6k met k geheel.
De kleinste positieve oplossing is n = 6. Controle: c⁶ = 2⁶(cos 2π + i·sin 2π) = 64, dus P₆ = 4·64 = 256, inderdaad reëel en positief.
Geen kleinere n. Voor n = 1, 2, 3, 4, 5 is het argument achtereenvolgens π/3, 2π/3, π, 4π/3 en 5π/3. Geen daarvan is een veelvoud van 2π, dus n = 6 is inderdaad de kleinste.
2. Bereken de totale lengte van de lijnstukken P₀P₁, P₁P₂, P₂P₃, P₃P₄ en P₄P₅. Druk het antwoord exact uit en benoem de meetkundige structuur die je gebruikt.
Read the worked answer
Elk lijnstuk afzonderlijk. Er geldt
|P_{n+1} − P_n| = |P_n·c − P_n| = |P_n|·|c − 1|.
Nu is c − 1 = i√3, dus |c − 1| = √3. Met |P_n| = 4·2^n wordt de lengte van het n-de lijnstuk gelijk aan 4·2^n·√3.
Sommeren.
4√3·(1 + 2 + 4 + 8 + 16) = 4√3·31 = 124√3 ≈ 214,8.
Meetkundige betekenis. De driehoek met hoekpunten 0, P_n en P_{n+1} heeft zijden |P_n|, 2|P_n| en √3·|P_n|. Die verhoudingen 1 : 2 : √3 horen bij een rechthoekige driehoek met hoeken 30°, 60° en 90°. Elk lijnstuk is dus √3 keer de afstand van P_n tot de oorsprong, en de hele lijn is de som van een meetkundige rij met factor 2.
3. Bij de omgekeerde draaiing vermenigvuldigt de studio afwisselend met c en met c̄ = 1 − i√3. Beschrijf waar de even en de oneven punten terechtkomen en geef bijbehorende formules.
Read the worked answer
Twee stappen samen. Er geldt c·c̄ = |c|² = (√(1 + 3))² = 4. Dat is een reëel positief getal, dus vermenigvuldigen met c·c̄ betekent alleen oprekken met factor 4 en niet draaien.
Even punten. Na 2k stappen is de factor (c·c̄)^k = 4^k, dus
P_{2k} = 4·4^k = 4^{k+1}.
Alle even punten liggen dus op de positieve reële as: P₂ = 16, P₄ = 64, P₆ = 256, enzovoort.
Oneven punten. Na 2k + 1 stappen is de factor 4^k·c, dus P_{2k+1} = 4^{k+1}·c. Het argument is steeds π/3 en de modulus is 2·4^{k+1}: P₁ = 4c met modulus 8, P₃ = 16c met modulus 32, enzovoort. Alle oneven punten liggen dus op dezelfde halve lijn vanuit de oorsprong, onder een hoek van 60° met de reële as.
Conclusie voor de animatie. De baan bestaat afwisselend uit een punt op de reële as en een punt op die 60°-lijn, waarbij de afstand tot de oorsprong telkens met factor 4 groeit.