VWO Wiskunde D cheat sheet

Een differentiaalvergelijking y' = f(y) heet autonoom; evenwichten volgen uit f(y) = 0, en de stabiliteit lees je af uit het teken van f'(y) in het evenwicht (negatief: stabiel, positief: onstabiel).

Lineariseren rond een evenwicht y*: stel y = y* + u met kleine u, dan geldt u' ≈ f'(y*)·u, dus u(t) ≈ u(0)·e^(f'(y*)t); dit bepaalt groei of verval lokaal.

Exponentiële groei met begrenzing: dy/dt = k·y·(M − y) (logistische groei) heeft evenwichten y = 0 (instabiel) en y = M (stabiel), met S-vormige oplossingskromme en buigpunt bij y = M/2.

Bij differentiëren van parametervormen x = f(t), y = g(t) geldt dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) mits dx/dt ≠ 0; de tweede afgeleide is d/dt(dy/dx) gedeeld door dx/dt.

De regel van l'Hôpital: als f(a) = g(a) = 0 en g'(a) ≠ 0, dan is lim(x→a) f(x)/g(x) = f'(a)/g'(a); pas alleen toe bij 0/0 of ∞/∞ en controleer de voorwaarden.

Substitutie bij integralen: ∫ f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; herken de afgeleide van de binnenfunctie als factor in de integrand en pas de grenzen mee aan bij bepaalde integralen.

Partieel integreren: ∫ u dv = u·v − ∫ v du; kies u volgens LIATE (logaritme, inverse goniometrisch, algebraïsch, trigonometrisch, exponentieel) om de integraal te vereenvoudigen.

De hoofdstelling van de analyse: als F' = f en f continu is op [a, b], dan ∫ van a tot b f(x) dx = F(b) − F(a); de afgeleide van ∫ van a tot x f(t) dt naar x is f(x).

Kansrekenen: voor onafhankelijke gebeurtenissen geldt P(A ∩ B) = P(A)·P(B); de complementregel P(niet A) = 1 − P(A) is vaak sneller dan direct tellen.

Inproduct: a·b = |a||b|cos(φ) = a1b1 + a2b2 (of + a3b3); loodrecht precies dan als a·b = 0, en de hoek volgt uit cos(φ) = (a·b)/(|a||b|).

Afstand van punt P tot lijn met normaalvector n en vergelijking n·x = c is |n·P − c| / |n|; de projectie van P op de lijn is P − ((n·P − c)/|n|²)·n.

Kruisproduct in 3D: a × b is loodrecht op a en b, met |a × b| = |a||b|sin(φ); de oppervlakte van de parallellogram op a en b is gelijk aan |a × b|.

Complexe getallen: z = a + bi met |z| = √(a² + b²) en arg(z) = arctan(b/a) aangepast per kwadrant; vermenigvuldigen geeft |z1z2| = |z1||z2| en arg(z1z2) = arg z1 + arg z2.

Formule van Euler: e^(iφ) = cos φ + i·sin φ, dus z = r·e^(iφ) met r = |z|; de n-de machtswortels van z zijn r^(1/n)·e^(i(φ + 2kπ)/n) voor k = 0, 1, …, n − 1.

De modulus is multiplicatief en de driehoeksongelijkheid geldt: |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|; meetkundig liggen de beelden van z met |z − c| = r op een cirkel met middelpunt c en straal r.

Cirkelvergelijking x² + y² + Dx + Ey + F = 0 heeft middelpunt (−D/2, −E/2) en straal √(D²/4 + E²/4 − F); kwadraat afsplitsen maakt dit direct zichtbaar.

Binomiaalcoëfficiënt: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!); het aantal rijtjes van lengte n met k successen en n − k mislukkingen is C(n, k), en de binomiale kans is C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n − k).

Verwachtingswaarde en variantie van een binomiale verdeling: E(X) = np en Var(X) = np(1 − p); voor een som van onafhankelijke stochasten tellen de verwachtingen en varianties op.

Voor een continue stochast geldt P(a ≤ X ≤ b) = ∫ van a tot b f(x) dx met kansdichtheid f ≥ 0 en ∫ over heel ℝ f(x) dx = 1; de verwachting is ∫ x·f(x) dx.

Normale benadering: als X binomiaal is met np > 5 en n(1 − p) > 5, benader X met een normale verdeling met μ = np en σ = √(np(1 − p)), met continuïteitscorrectie van 0,5.

Recursie en dynamische systemen: een lineaire recurrente betrekking u(n+1) = a·u(n) + b heeft gesloten vorm via een vast punt u* = b/(1 − a) en u(n) = u* + (u(0) − u*)·a^n (voor a ≠ 1).

Grafen: de som van alle graden is 2·(aantal ribben); een Eulerroute bestaat precies dan als precies nul of twee knopen oneven graad hebben (en de graaf samenhangend is).

Kortste pad: het algoritme van Dijkstra kent vanaf de startknoop steeds de knoop met de kleinste voorlopige afstand definitief toe; negatieve takgewichten maken Dijkstra ongeldig.

Kansen bij trekken zonder terugleggen volgen de hypergeometrische verdeling: P(k successen) = C(K, k)·C(N − K, n − k)/C(N, n), met N de populatie, K het aantal successen en n de steekproefgrootte.

Een parametervoorstelling van een lijn is x = a + λ·d met richtingsvector d ≠ 0; twee lijnen zijn evenwijdig als hun richtingsvectoren veelvouden van elkaar zijn, en snijden anders in precies één punt (of vallen samen).

Hoek tussen twee lijnen via richtingsvectoren d1 en d2: cos(φ) = |d1·d2|/(|d1||d2|); de absolute waarde geeft de scherpe hoek tussen de lijnen.

Afstand tussen twee punten in de ruimte: |PQ| = √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²); het midden van PQ is de componentsgewijze som gedeeld door twee.

Een vlak in 3D heeft vergelijking n·x = c met normaalvector n; de hoek tussen een lijn met richtingsvector d en een vlak volgt uit sin(φ) = |n·d|/(|n||d|).

Bij het modelleren van een context: benoem de variabelen met eenheden, geef het domein aan, controleer dimensies van beide zijden en vergelijk de modeluitkomst met meetgegevens via residualen.

Lineair regressiemodel y = a + bx met kleinste kwadraten: b = cov(x, y)/var(x) en a = ȳ − b·x̄; de correlatiecoëfficiënt r voldoet aan −1 ≤ r ≤ 1 en r² is de verklaarde fractie van de variantie.

Exponentieel verband y = a·g^x wordt lineair na logaritmeren: log y = log a + x·log g; een rechte lijn in een enkel-logaritmische grafiek wijst dus op exponentiële groei.

Bij differentievergelijkingen in context: een evenwichtswaarde volgt uit u(n+1) = u(n), en convergentie treedt op als de absolute waarde van de groeifactor kleiner is dan 1.

Bewijsstructuur: direct bewijs, bewijs uit het ongerijmde (neem de ontkenning aan en leid een tegenspraak af) en volledige inductie (basisstap plus inductiestap van n naar n + 1).

Bij volledige inductie moet de inductiehypothese expliciet worden geformuleerd en in de inductiestap daadwerkelijk worden gebruikt; de basisstap alleen is nooit voldoende.

Een bewering weerleggen kan met één tegenvoorbeeld; een bewering bewijzen vereist een algemeen geldend argument, niet een aantal voorbeelden.

Bij het werken met een grafische rekenmachine of computeralgebra: noteer de gebruikte invoer en instellingen, en controleer uitkomsten op plausibiliteit en nauwkeurigheid (significantie).

Numerieke differentiatie benadert f'(a) met (f(a + h) − f(a − h))/(2h); de fout is orde h², dus halvering van h verkleint de fout met ongeveer een factor vier.

Numeriek integreren met de trapeziumregel: ∫ van a tot b f(x) dx ≈ (Δx/2)·(f(x0) + 2f(x1) + … + 2f(x(n−1)) + f(xn)) met Δx = (b − a)/n.

Een algoritme in pseudocode beschrijft herhaling (lus), keuze (als-dan-anders) en toekenning; de complexiteit druk je uit in het aantal elementaire stappen als functie van de invoergrootte n.

Bij een simulatie: geef de kansverdeling van de invoer, het aantal herhalingen en de gewenste nauwkeurigheid; de standaardfout van een gemiddelde is σ/√n.

Afgeleiden: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tan x)' = 1/cos²x, (e^x)' = e^x en (ln x)' = 1/x voor x > 0.

Kettingregel: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x); productregel (f·g)' = f'·g + f·g' en quotiëntregel (f/g)' = (f'·g − f·g')/g².

Goniometrische identiteiten: sin²x + cos²x = 1, sin(2x) = 2 sin x cos x en cos(2x) = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1; deze zijn de basis voor herschrijven van integranden.

Harmonische vorm: a·sin(x) + b·cos(x) = A·sin(x + φ) met A = √(a² + b²); de amplitude is A en de periode van sin(kx) is 2π/k.

Extremen van een functie op een interval: los f'(x) = 0 op, bepaal het tekenverloop van f' en vergelijk de functiewaarden in de kandidaten inclusief de randpunten van het interval.

Buigpunten volgen uit f''(x) = 0 met tekenwisseling van f''; de afgeleide f' geeft de helling, f'' de verandering van helling (buiging).

Oppervlakte tussen twee grafieken op [a, b]: ∫ |f(x) − g(x)| dx; bepaal eerst de snijpunten, want daar wisselt welke grafiek boven ligt.

Inhoud van een omwentelingslichaam rond de x-as: V = π·∫ van a tot b (f(x))² dx, mits f(x) ≥ 0 op het interval.