VWO Wiskunde D flashcards

32 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Autonome differentiaalvergelijking

Vergelijking van de vorm y' = f(y) waarin de tijd niet expliciet voorkomt. Evenwichten volgen uit f(y) = 0; de stabiliteit hangt af van het teken van f' in dat evenwicht.

Logistische groei

Model dy/dt = k·y·(M − y) met draagkracht M. Evenwicht y = 0 is instabiel, y = M stabiel; de oplossing is S-vormig met een buigpunt bij y = M/2.

Lineariseren rond een evenwicht

Vervang de differentiaalvergelijking in de buurt van een evenwicht y* door u' = f'(y*)·u met u = y − y*. De oplossing gedraagt zich dan als u(0)·e^(f'(y*)t).

Regel van l'Hôpital

Bij een quotiënt dat leidt tot 0/0 of oneindig/oneindig mag je de limiet vervangen door die van f'(x)/g'(x), mits de afgeleiden bestaan en de noemer niet nul wordt.

Partieel integreren

∫ u dv = u·v − ∫ v du. Kies u volgens LIATE zodat de resterende integraal eenvoudiger wordt; deze regel keert de productregel om.

Hoofdstelling van de analyse

Als F een primitieve is van continue f op [a, b], dan is de bepaalde integraal van f over [a, b] gelijk aan F(b) − F(a). Dit verbindt oppervlakte met primitiveren.

Inproduct en loodrechte stand

a·b = a1b1 + a2b2 = |a||b|cos(φ). Twee vectoren staan loodrecht precies dan als hun inproduct nul is; de hoek volgt uit de cosinusformule.

Afstand punt tot lijn

Voor lijn n·x = c en punt P geldt afstand = |n·P − c|/|n|. De loodrechte projectie van P op de lijn is P − ((n·P − c)/|n|²)·n.

Kruisproduct in drie dimensies

a × b is een vector loodrecht op a en b met lengte |a||b|sin(φ). Die lengte is de oppervlakte van het parallellogram dat a en b opspannen.

Modulus en argument

Voor z = a + bi is |z| = √(a² + b²) en arg(z) de hoek met de positieve reële as. Bij vermenigvuldigen worden moduli vermenigvuldigd en argumenten opgeteld.

Formule van Euler

e^(iφ) = cos φ + i·sin φ, zodat z = r·e^(iφ) met r = |z|. Dit maakt vermenigvuldigen, machtsverheffen en worteltrekken van complexe getallen meetkundig inzichtelijk.

Cirkelvergelijking herschrijven

Uit x² + y² + Dx + Ey + F = 0 volgt middelpunt (−D/2, −E/2) en straal √(D²/4 + E²/4 − F). Kwadraat afsplitsen levert deze vorm direct.

Binomiaalcoëfficiënt

C(n, k) = n!/(k!(n − k)!) telt het aantal manieren om k elementen uit n te kiezen zonder terugleggen, en ook het aantal rijtjes van lengte n met k successen.

Binomiale verwachting en variantie

Voor X binomiaal met parameters n en p geldt E(X) = np en Var(X) = np(1 − p). De standaardafwijking is dus √(np(1 − p)).

Kansdichtheid

Functie f ≥ 0 met totale integraal 1; dan is P(a ≤ X ≤ b) de integraal van f over [a, b]. De verwachting is de integraal van x·f(x) over de hele reële as.

Normale benadering van binomiaal

Bij np > 5 en n(1 − p) > 5 mag je een binomiale verdeling benaderen met een normale verdeling met μ = np en σ = √(np(1 − p)), met continuïteitscorrectie van 0,5.

Hypergeometrische verdeling

Kans op k successen bij trekken zonder terugleggen: C(K, k)·C(N − K, n − k)/C(N, n), met N populatiegrootte, K aantal successen en n steekproefgrootte.

Eulerroute in een graaf

Een route die elke ribbe precies één keer doorloopt bestaat precies dan als de graaf samenhangend is en precies nul of twee knopen een oneven graad hebben.

Gradensom in een graaf

De som van de graden van alle knopen is gelijk aan tweemaal het aantal ribben. Daaruit volgt dat het aantal knopen met oneven graad altijd even is.

Algoritme van Dijkstra

Bepaalt kortste paden vanaf een startknoop door steeds de knoop met de kleinste voorlopige afstand definitief te maken. Werkt alleen betrouwbaar bij niet-negatieve takgewichten.

Lineaire recurrente betrekking

u(n+1) = a·u(n) + b heeft vast punt u* = b/(1 − a) voor a ≠ 1, en gesloten vorm u(n) = u* + (u(0) − u*)·a^n. Convergentie als |a| < 1.

Kleinste-kwadratenregressie

Bij y = a + bx geldt b = cov(x, y)/var(x) en a = ȳ − b·x̄. De correlatiecoëfficiënt r ligt tussen −1 en 1 en r² is de verklaarde variantiefractie.

Logaritmisch lineariseren

Voor y = a·g^x geldt log y = log a + x·log g. Een rechte lijn in een grafiek van log y tegen x wijst dus op exponentiële groei met groeifactor g.

Volledige inductie

Bewijsmethode met basisstap (bewering voor de kleinste n) en inductiestap (uit de bewering voor n volgt die voor n + 1). De inductiehypothese moet expliciet worden gebruikt.

Bewijs uit het ongerijmde

Je neemt de ontkenning van de bewering aan en leidt daaruit een tegenspraak af met een bekend feit of met de aanname zelf; daarmee is de oorspronkelijke bewering bewezen.

Trapeziumregel

Numerieke benadering van een integraal met deelintervallen van breedte Δx: (Δx/2)·(eerste + laatste + 2·som van de tussenliggende functiewaarden). De fout neemt af bij fijner rooster.

Numerieke afgeleide

De centrale differentie (f(a + h) − f(a − h))/(2h) benadert f'(a) met fout van orde h², zodat halvering van h de fout ongeveer vier keer kleiner maakt.

Harmonische vorm

a·sin(x) + b·cos(x) = A·sin(x + φ) met amplitude A = √(a² + b²). De periode van sin(kx) en cos(kx) is 2π/k; φ volgt uit cos φ = a/A en sin φ = b/A.

Extremen op een interval

Kandidaten zijn de punten met f'(x) = 0, de punten waar f' niet bestaat en de randpunten. Vergelijk de functiewaarden om absoluut maximum en minimum te vinden.

Oppervlakte tussen grafieken

Bereken eerst de snijpunten, splits het interval waar nodig en integreer de absolute waarde van het verschil: ∫ |f(x) − g(x)| dx over het beschouwde interval.

Inhoud omwentelingslichaam

Bij wentelen van de grafiek van f ≥ 0 rond de x-as over [a, b] is de inhoud π·∫ van a tot b (f(x))² dx, omdat elke dwarsdoorsnede een cirkel met straal f(x) is.

Hoek tussen lijn en vlak

Met richtingsvector d van de lijn en normaalvector n van het vlak geldt sin(φ) = |n·d|/(|n||d|). De hoek tussen twee lijnen gebruikt juist de cosinus met de richtingsvectoren.