Gebruikersgedrag van een app als Markovketen
Een app met 100 000 geregistreerde gebruikers wordt elke maand ingedeeld in drie staten: actief, slapend en vertrokken. Uit de logbestanden blijkt welke overgangen per maand optreden. Van de actieve gebruikers blijft 70% actief, gaat 20% naar slapend en vertrekt 10%. Van de slapende gebruikers wordt 30% weer actief, blijft 50% slapend en vertrekt 20%. Van de vertrokken gebruikers keert 5% terug als actief, gaat 5% naar slapend en blijft 90% vertrokken. De directie wil over drie jaar de balans opmaken en vraagt zich af of het loont om te investeren in het terugwinnen van vertrekkers. Het marketingteam stelt voor het terugkeerpercentage van vertrokken gebruikers te verdubbelen naar 10%, ten koste van de groep die van vertrokken naar slapend gaat; dat percentage zou dan naar 0% gaan. De directie wil weten hoeveel actieve gebruikers dit op de lange termijn oplevert en of dat opweegt tegen de campagnekosten.
1. Stel de overgangsmatrix M op met de kolommen als huidige staat en de rijen als volgende staat (volgorde actief, slapend, vertrokken). Bereken de evenwichtsverdeling en geef die in percentages met één decimaal.
Read the worked answer
Matrix.
M = [0,70 0,30 0,05] [0,20 0,50 0,05] [0,10 0,20 0,90]
Elke kolom telt op tot 1, want vanuit elke staat gaan de aandelen samen naar 1.
Evenwicht oplossen. Gezocht is v = (a, s, q) met M·v = v en a + s + q = 1. Dat geeft:
−0,30a + 0,30s + 0,05q = 0 0,20a − 0,50s + 0,05q = 0 0,10a + 0,20s − 0,10q = 0
Uit de derde vergelijking volgt q = a + 2s. Invullen in de eerste vergelijking geeft −0,30a + 0,30s + 0,05a + 0,10s = 0, dus −0,25a + 0,40s = 0 en a = 1,6s. Dan is q = 1,6s + 2s = 3,6s.
Met a + s + q = 1 krijgt men 1,6s + s + 3,6s = 6,2s = 1, dus s = 5/31, a = 8/31 en q = 18/31.
Antwoord. Actief 25,8%, slapend 16,1%, vertrokken 58,1%. Controle met de tweede vergelijking: 0,20·(8/31) − 0,50·(5/31) + 0,05·(18/31) = (1,6 − 2,5 + 0,9)/31 = 0. Klopt.
2. Bereken hoeveel actieve gebruikers er op de lange termijn zijn volgens het huidige model en beredeneer waarom de beginverdeling daarbij niet uitmaakt.
Read the worked answer
Aantal. Het totaal blijft 100 000, omdat elke kolom van M optelt tot 1: er verdwijnen geen gebruikers uit het systeem, ze wisselen alleen van staat. Het aandeel actief in het evenwicht is 8/31, dus
8/31 · 100 000 ≈ 25 806 actieve gebruikers.
Onafhankelijk van de start. Alle entries van M zijn positief (de kleinste is 0,05). Daardoor is M primitief: er bestaat een macht M^k waarin alle entries positief zijn (hier al M zelf). Voor zo'n matrix geldt dat de rij M^n·v₀ voor elke startvector v₀ met som 1 naar dezelfde unieke evenwichtsvector convergeert. Praktisch betekent dit dat de beginsituatie alleen bepaalt hoe snel het evenwicht wordt benaderd, niet waar het naartoe gaat.
Interpretatie. Ook als de app nu bijvoorbeeld 60 000 actieve gebruikers heeft, zakken die op den duur naar ongeveer 25 800, tenzij het overgangsgedrag verandert.
3. Bereken de nieuwe evenwichtsverdeling als het terugkeerpercentage van vertrokken gebruikers 10% wordt en het percentage dat van vertrokken naar slapend gaat 0% wordt. Beoordeel of de campagne het aantal actieve gebruikers substantieel verhoogt.
Read the worked answer
Nieuwe matrix. Alleen de derde kolom verandert: [0,10; 0,00; 0,90].
Evenwicht. De vergelijkingen worden:
−0,30a + 0,30s + 0,10q = 0 0,20a − 0,50s = 0 0,10a + 0,20s − 0,10q = 0
Uit de tweede volgt a = 2,5s. Uit de derde volgt q = a + 2s = 4,5s. Dan is 2,5s + s + 4,5s = 8s = 1, dus s = 0,125, a = 0,3125 en q = 0,5625.
Antwoord. Actief 31,3%, slapend 12,5%, vertrokken 56,3%. Dat zijn 31 250 actieve gebruikers.
Beoordeling. De toename is 31 250 − 25 806 ≈ 5 444 actieve gebruikers, een stijging van ruim 21% ten opzichte van de oude evenwichtswaarde. Dat is substantieel, maar het kost ook iets: het aandeel slapend daalt van 16,1% naar 12,5%, doordat vertrekkers niet meer naar slapend gaan. De campagne is vooral effectief omdat de groep vertrokken gebruikers groot is (ruim de helft van het bestand); een kleine verandering in die kolom weegt zwaar door. Merk op dat de 5 procentpunt die van slapend naar vertrokken verschuift niet verandert; alleen de derde kolom is aangepast.