Infuuspomp en de veiligheidsgrens van een antibioticum
Een patiënt krijgt via een infuuspomp continu een antibioticum toegediend met een snelheid van 12 mg per uur. Het lichaam breekt de stof af met een snelheid die evenredig is met de hoeveelheid die op dat moment in het bloed zit: 0,15·C mg per uur, waarbij C de hoeveelheid in mg is en t in uren. Op t = 0 zit er nog geen medicijn in het bloed. De behandelend arts wil de toediening na 8 uur stoppen en daarna de afname volgen. In het ziekenhuisprotocol staat dat de hoeveelheid in het bloed nooit boven de 100 mg mag komen, omdat boven die grens de kans op gehoorschade toeneemt. Bij deze patiënt is de afbraakconstante vastgesteld op 0,15 per uur. Bij patiënten met een verminderde nierfunctie kan die waarde echter lager liggen, en de apotheker wil weten bij welke waarden het protocol in gevaar komt.
1. Stel de differentiaalvergelijking op, bereken de evenwichtswaarde en beredeneer of de hoeveelheid in het bloed ooit boven de evenwichtswaarde kan uitkomen.
Read the worked answer
Differentiaalvergelijking. Toevoer minus afvoer:
dC/dt = 12 − 0,15·C = 0,15·(80 − C).
Evenwicht. Stel dC/dt = 0, dan is 12 = 0,15·C, dus C = 80 mg.
Oplossing. Met C(0) = 0 hoort hierbij
C(t) = 80 − 80·e^(−0,15t) = 80·(1 − e^(−0,15t)).
Bovengrens. Omdat C(0) = 0 < 80, is dC/dt = 0,15·(80 − C) positief zolang C < 80. De hoeveelheid stijgt dus monotoon naar 80 en bereikt die waarde pas in de limiet. Omdat de afgeleide nul wordt bij C = 80 en daarna negatief zou zijn, kan C nooit boven 80 komen. De grens van 100 mg wordt bij deze afbraakconstante dus nooit overschreden, ook niet bij een oneindig lang doorgaande infusie.
2. Bereken na hoeveel uur 90% van de evenwichtswaarde is bereikt.
Read the worked answer
Vergelijking. 90% van 80 mg is 72 mg, dus:
80·(1 − e^(−0,15t)) = 72 1 − e^(−0,15t) = 0,9 e^(−0,15t) = 0,1 −0,15t = ln(0,1) = −ln(10) t = ln(10)/0,15 ≈ 2,3026/0,15 ≈ 15,35.
Antwoord. Na ongeveer 15,35 uur, dus ongeveer 15 uur en 21 minuten.
Interpretatie. Dat is bijna het dubbele van de geplande toedieningsduur van 8 uur. Na 8 uur is dus nog lang geen evenwicht bereikt; de arts moet daarmee rekening houden bij de beoordeling van de bloedwaarde op dat moment.
3. Bereken de hoeveelheid in het bloed op het moment dat de pomp na 8 uur stopt, en hoe lang het daarna duurt tot de waarde onder 10 mg zakt. Beoordeel vervolgens of het protocol van 100 mg veilig is voor een patiënt met een afbraakconstante van 0,10 per uur en bereken de grenswaarde van de afbraakconstante waarbij 100 mg precies wordt bereikt.
Read the worked answer
Waarde bij stoppen. C(8) = 80·(1 − e^(−1,2)) = 80·(1 − 0,30119) ≈ 55,9 mg.
Uitspoelen. Na het stoppen geldt dC/dt = −0,15·C, dus C(t) = 55,9·e^(−0,15t) met t in uren na het stoppen. Stel C = 10:
55,9·e^(−0,15t) = 10 e^(−0,15t) = 0,1789 −0,15t = ln(0,1789) = −1,7210 t ≈ 11,47.
Het duurt dus nog ongeveer 11,5 uur voordat de waarde onder 10 mg zakt.
Protocol bij lagere afbraakconstante. Het evenwicht is in het algemeen C = 12/k. Bij k = 0,10 wordt dat 12/0,10 = 120 mg, ruim boven de grens van 100 mg. Het protocol is dan dus niet veilig. De grens wordt precies bereikt bij 12/k = 100, dus k = 0,12 per uur.
Conclusie. Bij een afbraakconstante onder 0,12 per uur moet de dosis worden verlaagd (of de bloedwaarde worden gecontroleerd), want het evenwicht komt dan boven 100 mg. Alleen bij k ≥ 0,12 is de infusiesnelheid van 12 mg per uur verantwoord.