Werkgebied en elleboogstanden van een tweearmige robot
Een bedrijf bouwt een tweearmige robot voor het inpakken van dozen. De schouder zit vast in de oorsprong O(0,0) van een verticale doorsnede; alle maten zijn in decimeter. De bovenarm heeft lengte 5 en draait om O, de onderarm heeft lengte 3 en draait om de elleboog E, en de grijper zit in het uiteinde H. De besturing werkt met hoeken, maar de programmeur wil de baan in coördinaten beschrijven. Er moet een greep worden geprogrammeerd boven een lopende band bij H = (6, 2). Verder wil het bedrijf een tweede lopende band neerzetten bij het punt (8, 3) en vraagt zich af of de robot daar zonder verplaatsing bij kan. Ten slotte wil men weten of de besturing bij een gegeven H mag aannemen dat er precies één stand van de elleboog is; de programmeur twijfelt daarover, omdat de robot in de praktijk soms twee verschillende houdingen kan aannemen om hetzelfde punt te bereiken.
1. Beredeneer tussen welke grenzen de afstand |OH| kan liggen en bepaal of het punt (8, 3) binnen het bereik van de grijper ligt. Geef ook de oppervlakte van het bereikbare gebied.
Read the worked answer
Driehoeksongelijkheid. In driehoek OEH gelden de zijden |OE| = 5 en |EH| = 3. De derde zijde |OH| moet voldoen aan
|5 − 3| ≤ |OH| ≤ 5 + 3, dus 2 ≤ |OH| ≤ 8.
De uiterste waarden treden op als de armen volledig gestrekt zijn (|OH| = 8) of volledig gevouwen (|OH| = 2). Alle tussenliggende waarden zijn mogelijk doordat de elleboog vrij kan draaien.
Punt (8, 3). |OQ| = √(8² + 3²) = √73 ≈ 8,54. Dat is groter dan 8, dus de grijper kan dit punt niet bereiken. De lopende band kan daar niet worden neergezet zonder de robot te verplaatsen.
Oppervlakte. Het bereikbare gebied is een ring met binnenstraal 2 en buitenstraal 8:
π·8² − π·2² = 64π − 4π = 60π ≈ 188,5 dm².
Punten met |OH| < 2 zijn onbereikbaar omdat de arm dan verder zou moeten buigen dan volledig gevouwen.
2. Voor H = (6, 2): bereken de hoek bij de elleboog, dus de hoek tussen OE en EH, in graden nauwkeurig. Laat zien dat er twee mogelijke standen van de elleboog zijn en beredeneer wanneer die twee standen samenvallen.
Read the worked answer
Afstand OH. |OH| = √(6² + 2²) = √40 ≈ 6,32. Dat ligt tussen 2 en 8, dus het punt is bereikbaar.
Cosinusregel. In driehoek OEH met zijden 5, 3 en √40, en hoek α bij E:
|OH|² = |OE|² + |EH|² − 2·|OE|·|EH|·cos α 40 = 25 + 9 − 30·cos α cos α = (34 − 40)/30 = −0,2.
Dus α ≈ 101,5°.
Twee standen. Met drie gegeven zijden ligt de driehoek op twee manieren vast: de elleboog kan aan weerszijden van de lijn OH worden geplaatst. Die twee standen zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn OH en geven dezelfde hoek α, maar verschillende coördinaten van E.
Wanneer vallen ze samen? Alleen als de driehoek ontaardt, dus bij |OH| = 5 + 3 = 8 (volledig gestrekt, α = 180°) of bij |OH| = 5 − 3 = 2 (volledig gevouwen, α = 0°). In alle andere gevallen zijn er twee echt verschillende elleboogstanden, en de besturing moet dus een keuze maken op grond van bijvoorbeeld botsingsgevaar.
3. Bereken met een projectie de coördinaten van beide mogelijke elleboogposities bij H = (6, 2). Rond af op twee decimalen en controleer je antwoord.
Read the worked answer
Projectie van E op de lijn OH. Noem p de afstand van O tot het voetpunt van de loodlijn uit E op OH. Met de cosinusregel in driehoek OEH, toegepast op de hoek bij O, of direct met de projectiestelling:
p = (|OE|² + |OH|² − |EH|²)/(2·|OH|) = (25 + 40 − 9)/(2√40) = 56/(4√10) = 14/√10 ≈ 4,43.
De hoogte van E boven de lijn OH is dan h = √(25 − p²) = √(25 − 19,6) = √5,4 ≈ 2,32.
Eenheidsvectoren. Langs OH: u = (6, 2)/√40 = (3, 1)/√10. Loodrecht daarop: v = (−1, 3)/√10.
Invullen. p·u = 4,43·(3, 1)/3,162 ≈ (4,20; 1,40) en h·v ≈ 2,32·(−1, 3)/3,162 ≈ (−0,73; 2,20).
E = (4,20; 1,40) ± (−0,73; 2,20) geeft
E₁ ≈ (3,47; 3,60) en E₂ ≈ (4,93; −0,80).
Controle. |OE₁| = √(3,47² + 3,60²) = √(12,04 + 12,96) = √25 = 5 en |E₁H| = |(2,53; −1,60)| = √(6,40 + 2,56) ≈ 2,99. Voor E₂: |OE₂| = √(24,30 + 0,64) ≈ 5,00 en |E₂H| = |(1,07; 2,80)| ≈ 3,00. Beide standen voldoen dus aan de armlengtes, en de hoek bij de elleboog is in beide gevallen ongeveer 101,5°.