Meetkunde
Domein Meetkunde gaat over vectoren in drie dimensies: lijnen en vlakken beschrijven, hoeken en afstanden berekenen en doorsneden construeren. Het examen vraagt bijna altijd om een exacte berekening plus een korte onderbouwing waarom je methode klopt.
Kernregels
- Lijn: (x, y, z) = a + λr; vlak: (x, y, z) = a + λu + μv of n·(x − a) = 0 met n een normaalvector.
- Inproduct: a·b = |a||b|cos θ, dus loodrecht precies als a·b = 0.
- Uitproduct a × b staat loodrecht op beide vectoren; |a × b| is de oppervlakte van het bijbehorende parallellogram.
- Hoek tussen lijn en vlak: sin θ = |n·r| / (|n||r|), dus niet de cosinus gebruiken.
- Afstand punt tot vlak: |n·(p − a)| / |n| met a een punt in het vlak.
- Cirkel: (x − a)² + (y − b)² = r²; een raaklijn staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
Uitgewerkt voorbeeld
Bereken de afstand van P(4, 1, 1) tot het vlak 2x − y + 2z = 6. De normaalvector is n = (2, −1, 2) met |n| = √(4 + 1 + 4) = 3. Vul P in het linkerlid in: 2·4 − 1 + 2·1 = 9. Het vlak zelf geeft 6, dus het verschil is 9 − 6 = 3. De afstand is |3| / 3 = 1. De reden dat dit werkt: n·(p − a) meet hoeveel de vector p − a in de richting van de normaal ligt, en delen door |n| zet dat om in een echte afstand.
Valkuilen
- Bij de hoek tussen lijn en vlak hoort een sinus; bij de hoek tussen twee lijnen of twee vlakken een cosinus.
- Een normaalvector aflezen uit 2x − y + 2z = 6 geeft (2, −1, 2), niet (2, 1, 2).
- Vergeet bij het uitproduct niet dat de middelste component een tegengesteld teken krijgt.