Analyse
Domein Analyse toetst differentiëren, primitiveren en het werken met differentiaalvergelijkingen. Je moet een functie kunnen doorrekenen zonder grafische rekenmachine en kunnen uitleggen wat een uitkomst betekent voor helling, oppervlakte of groei.
Kernregels
- Raaklijn in x = a: y = f(a) + f'(a)(x − a).
- Extremen: los f'(x) = 0 op en gebruik het tekenverloop van f' om minimum en maximum te onderscheiden.
- Differentiëren: productregel, quotiëntregel en kettingregel; bij de kettingregel vermenigvuldig je met de afgeleide van de binnenfunctie.
- Oppervlakte tussen twee grafieken: ∫ (f(x) − g(x)) dx tussen de snijpunten, met de bovenste functie eerst.
- Inhoud van een omwentelingslichaam om de x-as: π∫ f(x)² dx.
- Differentiaalvergelijkingen: y' = c·y geeft y = A·e^(cx); y' = a(b − y) geeft y = b + A·e^(−ax).
Uitgewerkt voorbeeld
Bereken ∫ x·e^x dx. Partieel integreren gebruikt ∫ f·g' = f·g − ∫ f'·g. Neem f(x) = x en g'(x) = e^x, dan is f'(x) = 1 en g(x) = e^x. Invullen geeft x·e^x − ∫ 1·e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x(x − 1) + C. Controle door te differentiëren: de afgeleide van e^x(x − 1) is e^x(x − 1) + e^x = x·e^x, precies de integrand. Die controle kost tien seconden en vangt vrijwel elke tekenfout op.
Valkuilen
- Bij partieel integreren moet je zelf kiezen welk deel je primitiveert; kies zo dat de rest eenvoudiger wordt.
- Vergeet de integratieconstante niet bij een onbepaalde integraal.
- Bij een differentiaalvergelijking eerst de algemene oplossing, dan de beginwaarde invullen; anders verlies je de constante.
- Let op de eenheid van de variabele als de opgave met tijd of snelheid werkt.