Complexe getallen
Domein Complexe getallen draait om rekenen in het complexe vlak, de polaire vorm en het oplossen van vergelijkingen van de vorm z^n = w. Je moet vlot kunnen schakelen tussen a + bi, modulus-argumentnotatie en meetkundige interpretatie.
Kernregels
- z = a + bi met Re(z) = a en Im(z) = b; de geconjugeerde is z̄ = a − bi en z·z̄ = |z|².
- |z| = √(a² + b²); arg(z) is de hoek met de positieve reële as, met controle van het kwadrant.
- Vermenigvuldigen: moduli vermenigvuldigen, argumenten optellen. Delen: moduli delen, argumenten aftrekken.
- Formule van De Moivre: (r(cos φ + i sin φ))^n = r^n(cos nφ + i sin nφ).
- Oplossen van z^n = w: schrijf w als r(cos φ + i sin φ), dan is z = r^(1/n)(cos((φ + 2kπ)/n) + i sin((φ + 2kπ)/n)) voor k = 0, 1, …, n − 1.
- Een veelterm met reële coëfficiënten heeft complexe wortels in geconjugeerde paren.
Uitgewerkt voorbeeld
Los op z³ = 8i. Schrijf 8i = 8(cos ½π + i sin ½π), dus r = 8 en φ = ½π. De modulus van elke wortel is 8^(1/3) = 2 en de argumenten zijn (½π + 2kπ)/3, dat geeft ⅙π, ⅚π en 3π/2. Dus z = 2(cos ⅙π + i sin ⅙π) = √3 + i, verder z = −√3 + i en z = −2i. De drie wortels liggen op een cirkel met straal 2 en zijn onderling 120° gedraaid - dat is de meetkundige controle op je antwoord.
Valkuilen
- Het argument van een punt in het tweede of derde kwadrant moet je ophogen met π; je rekenmachine geeft anders een verkeerde hoek.
- Vergeet niet alle n wortels te geven; één oplossing is bijna altijd fout.
- i² = −1, dus werk bij het uitvermenigvuldigen eerst alle i² weg.