Dynamische modellen
Domein Dynamische modellen onderzoekt hoe een grootheid zich in de tijd ontwikkelt, discreet met een iteratie x(n+1) = f(x(n)) of continu met een differentiaalvergelijking. Centraal staan evenwichten, stabiliteit en het lezen van een webgrafiek.
Kernregels
- Een evenwicht x* voldoet aan f(x*) = x*; bij een continue DV aan y' = 0.
- Webgrafiek: teken de lijn y = x en de grafiek van f, ga van (x(n), x(n)) verticaal naar (x(n), f(x(n))) en horizontaal terug naar de lijn y = x.
- Stabiliteit discreet: is |f'(x*)| < 1, dan is het evenwicht aantrekkend; is |f'(x*)| > 1, dan stoot het af. Bij precies 1 geeft de afgeleide geen uitsluitsel.
- Logistisch discreet: x(n+1) = a·x(n)(1 − x(n)). Voor toenemende a ontstaan periodes van 2, 4, 8, … en uiteindelijk chaotisch gedrag.
- Continu: y' = c·y geeft exponentiële groei; y' = c·y(1 − y/M) geeft logistische groei met grenswaarde M.
Uitgewerkt voorbeeld
Neem f(x) = 2x(1 − x). Evenwichten: x = 2x(1 − x), dus x(1 − 2x) = 0 en x* = 0 of x* = ½. De afgeleide is f'(x) = 2 − 4x, dus f'(0) = 2 en f'(½) = 0. Omdat |2| > 1 is x* = 0 afstotend, en omdat |0| < 1 is x* = ½ aantrekkend. Een startwaarde tussen 0 en 1 loopt dus naar ½, behalve precies in 0.
Valkuilen
- Een evenwicht is niet automatisch stabiel; bereken altijd f'(x*).
- Verwar de continue logistische vergelijking niet met de discrete variant: bij de discrete versie kan chaos optreden, bij de continue niet.
- Bij een webgrafiek ga je snel de fout in door horizontaal en verticaal te verwisselen; begin altijd op de lijn y = x.