Toetscijfers van klas 3B
Een docent wiskunde heeft de cijfers van de eerste toets van klas 3B op een rij gezet. Er zitten 25 leerlingen in de klas. De cijfers zijn hele getallen van 1 tot en met 10. De docent maakt een frequentietabel: cijfer 3 komt 2 keer voor, cijfer 4 drie keer, cijfer 5 vijf keer, cijfer 6 zes keer, cijfer 7 vier keer, cijfer 8 drie keer, cijfer 9 één keer en cijfer 10 één keer. Een 5,5 of hoger is een voldoende. De docent zegt tegen de klas: "Het gemiddelde is precies een 6,0, dus jullie hebben het goed gedaan." Sommige leerlingen zijn het daar niet mee eens en wijzen erop dat er ook veel onvoldoendes zijn. Twee leerlingen met een 3 waren ziek tijdens de toets. De docent wil ook de mediaan en de modus weten om de resultaten beter te kunnen bespreken.
1. Bereken het gemiddelde cijfer van klas 3B. Laat je berekening zien.
Read the worked answer
Vermenigvuldig elk cijfer met hoe vaak het voorkomt:
- 3 × 2 = 6
- 4 × 3 = 12
- 5 × 5 = 25
- 6 × 6 = 36
- 7 × 4 = 28
- 8 × 3 = 24
- 9 × 1 = 9
- 10 × 1 = 10
Som van alle cijfers: 6 + 12 + 25 + 36 + 28 + 24 + 9 + 10 = 150.
Aantal leerlingen: 2 + 3 + 5 + 6 + 4 + 3 + 1 + 1 = 25.
Gemiddelde: 150 : 25 = 6,0.
Het gemiddelde is dus inderdaad precies een 6,0.
2. Bereken de mediaan en de modus. Leg uit wat deze getallen zeggen over de resultaten.
Read the worked answer
Mediaan: Er zijn 25 cijfers. Het middelste cijfer is het 13e cijfer als je ze van laag naar hoog op een rij zet. Tel de aantallen op tot je bij 13 bent:
- t/m cijfer 3: 2 leerlingen
- t/m cijfer 4: 5 leerlingen
- t/m cijfer 5: 10 leerlingen
- t/m cijfer 6: 16 leerlingen
Het 13e cijfer valt dus in de groep met een 6. De mediaan is 6.
Modus: Het cijfer dat het vaakst voorkomt is de 6 (6 leerlingen). De modus is 6.
Wat zegt dit? De mediaan van 6 betekent dat de middelste leerling een 6 had: de helft van de klas had een 6 of lager. De modus van 6 betekent dat een 6 het meest voorkomende cijfer is. Het gemiddelde van 6,0 lijkt dus normaal, maar er zitten ook 10 leerlingen met een 5 of lager.
3. Bereken welk percentage van de klas een onvoldoende had. Bereken daarna het nieuwe gemiddelde als de twee zieke leerlingen met een 3 allebei een 6 halen.
Read the worked answer
Onvoldoendes: Een 5,5 of hoger is voldoende, dus de cijfers 3, 4 en 5 zijn onvoldoende. Aantal onvoldoendes: 2 + 3 + 5 = 10 leerlingen.
Percentage: 10 : 25 × 100% = 40%.
Nieuw gemiddelde: De som van alle cijfers was 150. De twee leerlingen met een 3 krijgen allebei een 6. De som verandert dan met −3 −3 +6 +6 = +6. Nieuwe som: 150 + 6 = 156. Het aantal leerlingen blijft 25. Nieuw gemiddelde: 156 : 25 = 6,24 (afgerond 6,2).
Het gemiddelde stijgt dus van 6,0 naar 6,24, maar het aantal onvoldoendes daalt met 2: van 10 naar 8 leerlingen (32%).