Hamowanie motocykla przed przeszkodą
Motocyklista porusza się po suchej szosie z prędkością 72 km/h (20 m/s). W pewnej chwili dostrzega nieruchomą przeszkodę w odległości 50 m i dopiero po czasie reakcji 0,80 s rozpoczyna hamowanie. Podczas hamowania opóźnienie jest stałe i wynosi 5,0 m/s². Motocykl i kierowcę traktujemy jako punkt materialny; pomijamy zmianę nacisku na koła i przyjmujemy, że opóźnienie nie zależy od prędkości. Trzeba ocenić, czy do zderzenia dojdzie, a jeśli tak, to z jaką prędkością i jakie warunki trzeba spełnić, aby go uniknąć. W drugim wariancie ten sam kierowca skraca czas reakcji do 0,40 s. Przyjmij, że w czasie reakcji prędkość pozostaje stała, a droga hamowania przy stałym opóźnieniu spełnia związek s = v²/(2a). Masa motocykla z kierowcą wynosi 220 kg; w części kinematycznej nie jest potrzebna, ale pozwala sprawdzić spójność odpowiedzi.
1. Oblicz drogę przebytą w czasie reakcji, drogę hamowania i całkowitą drogę zatrzymania. Oceń, czy motocyklista uderzy w przeszkodę, a jeśli tak - z jaką prędkością.
Read the worked answer
W czasie reakcji motocykl jedzie ruchem jednostajnym: s_r = v·t_r = 20·0,80 = 16 m. Droga hamowania: s_h = v²/(2a) = 20²/(2·5,0) = 400/10 = 40 m. Całkowita droga zatrzymania: s = 16 + 40 = 56 m. Ponieważ 56 m > 50 m, do zderzenia dojdzie. Do zderzenia pozostaje 50 − 16 = 34 m hamowania. Prędkość w chwili uderzenia: v_k² = v² − 2a·34 = 400 − 340 = 60, więc v_k ≈ 7,7 m/s (około 28 km/h).
2. Jaka jest największa prędkość początkowa, przy której motocyklista zatrzyma się dokładnie przed przeszkodą, jeśli czas reakcji pozostaje 0,80 s?
Read the worked answer
Niech v będzie prędkością początkową. Droga w czasie reakcji to 0,80v, a droga hamowania to v²/(2·5) = v²/10. Warunek zatrzymania przed przeszkodą: 0,80v + v²/10 = 50. Mnożymy przez 10: v² + 8v − 500 = 0. Δ = 64 + 2000 = 2064, √Δ ≈ 45,43. v = (−8 + 45,43)/2 ≈ 18,7 m/s ≈ 67 km/h. Pierwiastek ujemny odrzucamy. Przy prędkości większej niż około 18,7 m/s (67 km/h) motocyklista nie zatrzyma się przed przeszkodą.
3. Kierowca skraca czas reakcji do 0,40 s. Czy przy prędkości 72 km/h zatrzyma się przed przeszkodą? O ile zmieni się całkowita droga zatrzymania?
Read the worked answer
Dla t_r = 0,40 s droga reakcji wynosi 20·0,40 = 8 m. Droga hamowania się nie zmienia, bo zależy tylko od v i a: 40 m. Całkowita droga to 48 m < 50 m, więc kierowca zatrzyma się przed przeszkodą. Droga zatrzymania zmniejszy się o 16 − 8 = 8 m, czyli z 56 m do 48 m. Zapas do przeszkody wyniesie 2 m.