Prostokątny cykl silnika cieplnego z gazem jednoatomowym
Silnik cieplny zawiera gaz doskonały jednoatomowy i pracuje w cyklu prostokątnym 1→2→3→4→1. Przemiana 1→2 jest izochoryczna przy objętości V1 = 2,0 dm³; ciśnienie rośnie od 100 kPa do 300 kPa. Przemiana 2→3 jest izobaryczna przy 300 kPa i kończy się przy V2 = 6,0 dm³. Przemiana 3→4 jest izochoryczna i obniża ciśnienie do 100 kPa, a 4→1 jest izobaryczna i wraca do V1. Dla gazu jednoatomowego Cv = (3/2)R, Cp = (5/2)R. Wszystkie przemiany są quasi-statyczne, a gaz można traktować jako doskonały. Należy obliczyć pracę netto, ciepło pobrane i sprawność cyklu, a następnie porównać sprawność ze sprawnością silnika Carnota działającego między najwyższą i najniższą temperaturą tego cyklu. Wskazówka: w przemianie izochorycznej praca gazu wynosi zero, a w izobarycznej W = pΔV. 1 dm³ = 10⁻³ m³.
1. Oblicz pracę netto cyklu oraz całkowite ciepło pobrane przez gaz.
Read the worked answer
Praca netto w cyklu to pole prostokąta: W = (p2 − p1)(V2 − V1) = (300 − 100) kPa · (6,0 − 2,0) dm³ = 200 000 Pa · 0,004 m³ = 800 J. Ciepło pobierane jest w przemianach 1→2 i 2→3. Dla gazu jednoatomowego ΔU = (3/2)Δ(pV). 1→2 izochoryczna: W = 0, Q12 = ΔU = (3/2)·V1·(p2 − p1) = 1,5·0,002·200000 = 600 J. 2→3 izobaryczna: Q23 = ΔU + W = (3/2)·p2·ΔV + p2·ΔV = (5/2)·p2·ΔV = 2,5·300000·0,004 = 3000 J. Q_in = 600 + 3000 = 3600 J. Saldo: Q_out = 2800 J, W = Q_in − Q_out = 800 J, zgodnie z I zasadą termodynamiki.
2. Oblicz sprawność cyklu i sprawność Carnota między Tmin i Tmax. Wyjaśnij różnicę.
Read the worked answer
Sprawność: η = W/Q_in = 800/3600 ≈ 0,222, czyli 22,2%. Dla Carnota η_C = 1 − T_min/T_max. Temperatura jest proporcjonalna do pV. Najniższa temperatura jest w stanie 1: p1·V1 = 100 kPa·2 dm³ = 200 J (jednostki umowne). Najwyższa w stanie 3: p3·V2 = 300 kPa·6 dm³ = 1800 J. Zatem T_min/T_max = 200/1800 = 1/9, η_C = 1 − 1/9 = 8/9 ≈ 88,9%. Różnica wynika stąd, że w tym cyklu ciepło jest pobierane także w temperaturach niższych od T_max i oddawane w temperaturach wyższych od T_min. Silnik Carnota wykorzystuje ciepło tylko między skrajnymi temperaturami, więc 22,2% < 88,9% i cykl nie osiąga granicy Carnota.
3. W których przemianach gaz oddaje ciepło? Jaka jest zmiana entropii gazu w całym cyklu i co dzieje się z entropią otoczenia?
Read the worked answer
Gaz oddaje ciepło w przemianach 3→4 i 4→1. Q34 = (3/2)·V2·(p1 − p3) = 1,5·0,006·(−200000) = −1800 J. Q41 = (5/2)·p1·(V1 − V2) = 2,5·100000·(−0,004) = −1000 J. Razem Q_out = 2800 J. Gaz w całym cyklu wraca do stanu początkowego, więc zmiana entropii gazu wynosi zero. Entropia otoczenia rośnie, ponieważ ciepło jest wymieniane przy skończonych różnicach temperatur - proces nie jest w pełni odwracalny z punktu widzenia zbiorników ciepła.