Akumulator z oporem wewnętrznym i pomiar woltomierzem
Akumulator o nieznanej sile elektromotorycznej E i oporze wewnętrznym r łączymy z zewnętrznym rezystorem. Gdy R1 = 4,0 Ω, amperomierz wskazuje 1,50 A; gdy R2 = 9,0 Ω - 0,80 A. Amperomierz i przewody uznajemy za idealne. W drugiej części do zacisków akumulatora podłączamy woltomierz o oporze 200 Ω, który zastępuje rezystor zewnętrzny. Należy wyznaczyć E i r, a następnie ocenić, jaki opór zewnętrzny trzeba dobrać, aby moc wydzielana na nim była największa. Na koniec trzeba rozstrzygnąć, czy woltomierz o skończonym oporze zmierzy dokładnie siłę elektromotoryczną, czy tylko napięcie na zaciskach akumulatora, i podać różnicę. Przyjmij, że prawo Ohma dla całego obwodu ma postać E = I(R + r). Pomiń wpływ temperatury na opory. Woltomierz traktuj jako rezystor o podanym oporze.
1. Wyznacz siłę elektromotoryczną E i opór wewnętrzny r akumulatora.
Read the worked answer
Dla R1: E = 1,50·(4,0 + r). Dla R2: E = 0,80·(9,0 + r). Porównujemy: 1,50·(4,0 + r) = 0,80·(9,0 + r). 6,0 + 1,50r = 7,2 + 0,80r, więc 0,70r = 1,2 i r ≈ 1,71 Ω. Wtedy E = 1,50·(4,0 + 1,71) = 1,50·5,71 ≈ 8,57 V. Sprawdzenie: 0,80·(9,0 + 1,71) = 0,80·10,71 ≈ 8,57 V.
2. Jaki opór zewnętrzny daje największą moc wydzielaną na tym oporze? Oblicz tę moc.
Read the worked answer
Moc na oporze zewnętrznym: P = I²R = [E/(R + r)]²·R. Maksimum względem R występuje dla R = r; można to pokazać z pochodnej albo z nierówności. Zatem R_optymalne ≈ 1,71 Ω. P_max = E²/(4r) = (8,57)²/(4·1,71) ≈ 73,5/6,84 ≈ 10,7 W. Przy R = r napięcie na zaciskach wynosi E/2, a prąd E/(2r), co daje ten sam wynik.
3. Woltomierz o oporze 200 Ω zastępuje rezystor zewnętrzny. Czy jego wskazanie jest równe E? Podaj różnicę.
Read the worked answer
Woltomierz tworzy obwód z siłą elektromotoryczną i oporem wewnętrznym. Prąd: I = E/(R_v + r) = 8,57/(200 + 1,71) ≈ 0,0425 A. Napięcie na zaciskach: U = I·R_v = 0,0425·200 ≈ 8,50 V. To nie jest dokładnie E; różnica E − U ≈ 0,07 V. Im większy opór woltomierza, tym bliżej E jest jego wskazanie. Woltomierz idealny miałby R_v → ∞ i wtedy U → E.